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Lavaldüse


Die Lavaldüse ist eine von Ernst Körting 1878 für Dampfstrahlapparate und dem Schweden Carl Gustav Patrik de Laval 1883 für die Beaufschlagung von Dampfturbinen mit Wasserdampf unabhängig voneinander entwickelte Düse. Eine Lavaldüse ist ein Strömungsorgan mit einem zunächst konvergenten und anschließenden divergenten Querschnitt, wobei der Übergang von einem zum anderen Teil allmählich erfolgt. Die Querschnittsfläche an jeder Stelle ist kreisförmig, wodurch ein durchströmendes Fluid auf Überschallgeschwindigkeit beschleunigt werden kann, ohne dass es zu starken Verdichtungsstößen kommt. Die Schallgeschwindigkeit wird genau im engsten Querschnitt der Düse erreicht.

Lavaldüsen werden bereits seit der V2 und auch heute bei Raketentriebwerken verwendet.

Herleitung der Form

Die Eulersche Bewegungsgleichung:

[math]\begin{align} c \cdot \frac{\mathrm dc} {\mathrm dx} & = - \frac{1}{\rho} \cdot \frac{\mathrm dp} {\mathrm dx}\\ & = - \frac{1}{\rho} \cdot \frac{\mathrm dp} {\mathrm d\rho} \cdot \frac{\mathrm d\rho}{\mathrm dx} \end{align}[/math]

mit

ergibt zusammen mit der Zustandsgleichung [math]\frac{\mathrm dp}{\mathrm d \rho} = a^2[/math]:

[math]c \cdot \frac{\mathrm dc}{\mathrm dx} = - \frac{a^2}{\rho} \frac{\mathrm d\rho}{\mathrm dx}[/math]

mit der von der Dichte abhängigen Schallgeschwindigkeit [math]a[/math].

Einsetzen der Mach-Zahl [math]\mathit{Ma} = \frac{c}{a}[/math], die das Verhältnis der Strömungsgeschwindigkeit eines Mediums zu seiner Schallgeschwindigkeit bezeichnet liefert:

[math]\frac{1}{\rho} \cdot \frac{\mathrm d\rho}{\mathrm dx} = -\mathit{Ma}^2 \cdot \frac{1}{c} \cdot \frac{\mathrm dc}{\mathrm dx} \qquad (1)[/math],

Diese Gleichung sagt aus, dass die relative Dichteänderung längs des Stromfaden [math]x[/math] proportional ist zur relativen Geschwindigkeitsänderung mit dem Proportionalitätsfaktor [math]\mathit{Ma}^2.[/math] Aus dem quadratischen Proportionalitätsfaktor folgt, dass

  • bei einer Unterschallströmung ([math]\mathit{Ma}\lt 1[/math]) die relative Dichteänderung (wesentlich) kleiner als die relative Geschwindigkeitsänderung ist
  • bei einer Überschallströmung ([math]\mathit{Ma}\gt 1[/math]) die relative Dichteänderung (wesentlich) größer als die relative Geschwindigkeitsänderung ist.

Ferner muss noch die Kontinuitätsgleichung betrachtet werden:

[math]\begin{alignat}{2} & \rho \cdot c \cdot A && = \quad \dot{m} \quad & = \text{konst} \\ \Leftrightarrow & \ln \rho + \ln c + \ln A && = \ln(\dot{m}) & = \ln(\text{konst})\\ \Leftrightarrow & \frac{\mathrm d\rho}{\rho} + \frac{\mathrm dc}{c} + \frac{\mathrm dA}{A} && = 0 \end{alignat}[/math]

Differenziert man längs des Stromfadens, so ergibt sich

[math]\Rightarrow \frac{1}{\rho} \cdot \frac{\mathrm d\rho}{\mathrm dx} + \frac{1}{c} \cdot \frac{\mathrm dc}{\mathrm dx} + \frac{1}{A} \cdot \frac{\mathrm dA}{\mathrm dx} = 0[/math]

Unter Berücksichtigung von Gleichung (1) folgt:

[math]\frac{1}{c} \cdot \frac{\mathrm dc}{\mathrm dx} = \frac{1}{\mathit{Ma}^2 - 1} \cdot \frac{1}{A} \cdot \frac{\mathrm dA}{\mathrm dx}[/math]

Nimmt man die Querschnittsfläche [math]A(x)[/math] als gegeben, [math]c(x)[/math] und [math]\mathit{Ma}(x)[/math] hingegen als unbekannt an, so ermöglicht die letzte Gleichung die folgende qualitative Diskussion der Strömung durch eine Düse.

Will man eine Strömung beschleunigen, also [math]\frac{\mathrm dc}{\mathrm dx}\gt0[/math], so folgt aus der letzten Gleichung die Form der Lavaldüse:

  • Einlauf mit Unterschallströmung ([math]\mathit{Ma}\lt1[/math]): hier muss [math]\frac{\mathrm dA}{\mathrm dx} \lt0[/math] sein, die Düse muss sich also verengen (konvergenter Teil)
  • im engsten Querschnitt wird Schallströmung ([math]\mathit{Ma}=1[/math]) erreicht: hier muss die Düse einen konstanten Querschnitt haben
  • weitere Beschleunigung auf Überschallströmung ([math]\mathit{Ma}\gt1[/math]) im Auslauf: hier muss [math]\frac{\mathrm dA}{\mathrm dx}\gt0[/math] sein, die Düse muss sich also erweitern (divergenter Teil).

Literatur

  • Erich Hahne:Technische Thermodynamik. Einführung und Anwendung, 5. Auflage, Oldenbourg Verlag, München 2010, ISBN 978-3-486-59231-3.
  • Herbert Oertel jr., Martin Böhle, Thomas Reviol:Strömungsmechanik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. 7. Auflage, Springer Fachmedien, Wiesbaden 2015, ISBN 978-3-658-07785-3.
  • Heinz Schade, Ewald Kunz, Frank Kameier, Christian Oliver Paschereit:Strömungslehre. 4. Auflage, Walter de Gruiter GmbH, Berlin 2013, ISBN 978-3-11-029221-3.

Siehe auch

Weblinks


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Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Lavaldüse (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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