Laplace-Beltrami-Operator - LinkFang.de





Verallgemeinerter Laplace-Operator

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Verallgemeinerte Laplace-Operatoren sind mathematische Objekte, welche in der Differentialgeometrie insbesondere in der Globalen Analysis untersucht werden. Wie der Name schon sagt, sind die hier behandelten Operatoren Verallgemeinerungen des aus der reellen Analysis bekannten Laplace-Operators. Diese Verallgemeinerungen sind notwendig, um den Laplace-Operator auf Riemann'schen Mannigfaltigkeiten definieren zu können. Eine wichtige Rolle spielen diese Operatoren in den Beweisen für den Atiyah-Singer-Indexsatz und den Atiyah-Bott-Fixpunktsatz.

Definition

Sei [math](M,g)[/math] eine n-dimensionale Riemann'sche Mannigfaltigkeit, [math]\pi \colon E \to M[/math] ein hermitesches Vektorbündel und [math]H \colon \Gamma^\infty(M,E) \to \Gamma^\infty(M,E)[/math] ein geometrischer Differentialoperator zweiter Ordnung. Dieser heißt verallgemeinerter Laplace-Operator, falls für sein Hauptsymbol

[math]\sigma_H^2(x,\xi) = \|\xi\|^2[/math]

für [math]x \in M[/math] und [math]\xi \in T^*_xM[/math] gilt. Die Norm wird durch die Riemann'sche Metrik induziert und daher ist auch die Definition abhängig von der Metrik.

Beispiele

Im Folgenden werden einige bekannte Beispiele verallgemeinerter Laplace-Operatoren vorgestellt. Dazu sei wieder wie in der Definition [math](M,g)[/math] eine n-dimensionale, kompakte Riemann'sche Mannigfaltigkeit und [math]\pi : E \to M[/math] ein Vektorbündel.

Laplace-Beltrami-Operator

Definition

Der Laplace-Beltrami-Operator ist definiert durch

[math]\Delta f := \operatorname{div} (\operatorname{grad} f ).[/math]

für zweimal stetige Funktionen [math]f\colon M \to \R[/math]. Dabei bezeichnet [math]\operatorname{grad} f[/math] den Gradienten der Funktion [math]f[/math], ein Vektorfeld auf [math]M[/math]. Die Divergenz eines Vektorfeldes [math]X[/math] auf [math]M[/math] an der Stelle [math]p \in M[/math] ist definiert als die Spur der linearen Abbildung [math]\nabla X\colon T_pM \to T_p M[/math], [math]\xi \mapsto \nabla_\xi X[/math], wobei [math]\nabla[/math] der Levi-Civita-Zusammenhang auf [math]M[/math] ist. Hat man als Definitionsbereich keine echte Mannigfaltigkeit sondern eine offene Teilmenge des [math]\R^n[/math], so ist der Zusammenhang [math]\nabla[/math] die gewöhnliche Richtungsableitung und [math]\operatorname{div}[/math] die aus der reellen Analysis bekannte Divergenz eines Vektorfeldes. In diesem Fall erhält man den bekannten Laplace-Operator.

Lokale Koordinaten

Es seien [math](x_1, \dots, x_n)[/math] lokale Koordinaten auf [math]M[/math] und [math]\tfrac{\partial}{\partial x_1}, \dots, \tfrac{\partial}{\partial x_n}[/math] die zugehörigen Basisfelder des Tangentialbündels. Mit [math]g_{ij}[/math] für [math]1 \le i,j \le n[/math] seien die Komponenten der Riemannschen Metrik [math]g[/math] bezüglich dieser Basis bezeichnet.

Die Darstellung des Gradienten [math]\operatorname{grad}[/math] in lokalen Koordinaten lautet dann

[math]\operatorname{grad} f = \sum_{i,j} \left(g^{ij}\frac{\partial f}{\partial x_j} \right) \frac{\partial}{\partial x_i}[/math].

Hierbei ist [math](g^{ij})[/math] die inverse Matrix der Matrix [math](g_{ij})[/math].

Die Darstellung der Divergenz eines Vektorfelds [math]\textstyle X = \sum\limits_i X^i \tfrac{\partial }{\partial x_i}[/math] ist

[math]\operatorname{div} X = \frac{1}{\sqrt{\det g}} \sum_i \frac{\partial}{\partial x_i} \left(\sqrt {\det g} X^i\right)[/math],

wobei [math]\det g[/math] die Determinante der Matrix [math](g_{ij})[/math] ist.[1]

Setzt man diese Gleichungen zusammen, so erhält man die lokale Darstellung

[math]\Delta f = \operatorname{div}(\nabla f) = \frac{1}{\sqrt {\det g}} \sum_{i,j}\frac{\partial }{\partial x_i} \left(\sqrt{\det g}\, g^{ij} \frac{\partial f}{\partial x_j} \right)[/math]

des Laplace-Beltrami-Operators bezüglich der Metrik [math]g[/math]. Setzt man in dieser Formel für den Laplace-Beltrami-Operator die Darstellung des euklidischen metrischen Tensors in Polar-, Zylinder- oder Kugelkoordinaten ein, so erhält man die Darstellung des üblichen Laplace-Operators in diesen Koordinatensystemen.

Hodge-Laplace-Operator

Sei [math]\textstyle \mathcal{A}(M) := \bigoplus_{i=1}^n \mathcal{A}^i(M)[/math] der Raum der Differentialformen über [math]M[/math] und [math]\mathrm{d} : \mathcal{A}^i(M) \to \mathcal{A}^{i+1}(M)[/math] die äußere Ableitung. Die adjungierte äußere Ableitung wird mit [math]\delta[/math] bezeichnet. Dann heißt der Operator

[math]\Delta := \mathrm{d} \delta + \delta \mathrm{d} = (\mathrm{d} + \delta)^2[/math]

Hodge-Laplace- oder Laplace-de-Rham-Operator und ist ein verallgemeinerter Laplace-Operator.[2] Die Namen stammen daher, dass dieser Operator in der klassischen Hodge-Theorie und dem damit eng verbundenen De-Rham-Komplex Anwendung findet.

Dirac-Laplace-Operator

Ein Dirac-Operator

[math]D : \Gamma^\infty(M,E) \to \Gamma^\infty(M,E)[/math]

ist gerade so definiert, dass er durch quadrieren einen verallgemeinerten Laplace-Operator induziert. Das heißt [math]D^2 : \Gamma^\infty(M,E) \to \Gamma^\infty(M,E)[/math] ist ein verallgemeinerter Laplace-Operator und wird Dirac-Laplace-Operator genannt. Diese Laplace-Operatoren spielen eine wichtige Rolle im Beweis des Indexsatzes.

Bochner-Laplace-Operator

Definition

Der Bochner-Laplace-Operator wird mit dem metrischen Zusammenhang [math]\nabla^E \colon \Gamma(M,E) \to \Gamma(T^*M \otimes E)[/math] auf dem Vektorbündel [math]E[/math] definiert. Sei außerdem [math]\nabla^{T^*M} \colon \Gamma(M,T^*M) \to \Gamma(T^*M \otimes T^*M)[/math] der Levi-Civita-Zusammenhang und [math]\nabla^{T^*M \otimes E}[/math] der durch [math]\nabla^E[/math] und [math]\nabla^{T^*M}[/math] induzierte Zusammenhang auf dem Bündel [math]T^*M \otimes E[/math]

dann ist der Bochner-Laplace-Operator durch

[math] \Delta^E \cdot := - \operatorname{Tr}_g\left(\nabla^{T^*M \otimes E} \nabla^E \cdot \right)\,. [/math]

definiert. Die Abbildung [math]\operatorname{Tr}_g[/math] ist dabei die Tensorverjüngung bezüglich der riemannschen Metrik.[3]

Eine äquivalente Definition des Bochner-Laplace-Operators ist

[math]\Delta^E := - (\nabla^E)^* \nabla^E.[/math]

Dabei ist [math](\nabla^E)^*[/math] der adjungierte Operator bezüglich der riemannschen Metrik [math]g[/math].

Lokale Darstellung

Wählt man als Zusammenhang den Levi-Civita-Zusammenhang so erhält man in lokalen Koordinaten mit dem orthonormalen Rahmen [math]e_1 , \ldots , e_n[/math] die Darstellung[3]

[math] \Delta^E = - \sum_{i = 1}^n \left( \nabla^E_{e_i} \nabla^E_{e_i} - \nabla^E_{\nabla_{e_i}e_i}\right)\,. [/math]

Eigenschaften

  • Ein verallgemeinerter Laplace-Operator ist ein geometrischer Differentialoperator der Ordnung zwei.
  • Da ein verallgemeinerter Laplace-Operator, wie in der Definition gefordert, das Hauptsymbol [math]|\xi|^2[/math] hat, ist er ein elliptischer Differentialoperator.
  • Jeder Differentialoperator zweiter Ordnung mit positiv definitem Hauptsymbol ist ein verallgemeinerter Laplace-Operator bezüglich einer geeigneten Riemann'schen Metrik.
  • Sind [math]\phi, \psi \in \Gamma^{\infty}(M,E)[/math] glatte Schnitte, so gilt
[math]g(\Delta^E \phi,\psi) = g(\nabla^E\phi, \nabla^E \psi)[/math].
  • Der Operator [math]\Delta^E[/math] ist nichtnegativ und wesentlich selbstadjungiert bezüglich [math]L^2(X,E)[/math]. Die Definition des [math]L^2[/math] auf Mannigfaltigkeiten kann in dem Artikel über Dichtebündel nachgelesen werden.
  • Jeder verallgemeinerte Laplace-Operator [math]H[/math] bestimmt eindeutig einen Zusammenhang [math]\nabla^E[/math] auf dem Vektorbündel [math]E[/math] und einen Schnitt [math]B \in \Gamma^\infty(M,\operatorname{End}(E))[/math], so dass [math]H = \Delta^E - B[/math] gilt, wobei [math]\Delta^E[/math] der Bochner-Laplace-Operator ist. Jeder verallgemeinerte Laplace-Operator stimmt also mit dem Bochner-Laplace-Operator bis auf eine Störung der Ordnung Null überein.

Quellen

  • Isaac Chavel: Eigenvalues in Riemannian Geometry (= Pure and Applied Mathematics 115). Academic Press, Orlando FL u. a. 1984, ISBN 0-12-170640-0.
  • Liviu I. Nicolaescu: Lectures on the geometry of manifolds. 2nd edition. World Scientific Pub Co., Singapore u. a. 2007, ISBN 978-981-270853-3.
  • Martin Schottenloher: Geometrie und Symmetrie in der Physik. Leitmotiv der Mathematischen Physik (= Vieweg-Lehrbuch Mathematische Physik). Vieweg, Braunschweig u. a. 1995, ISBN 3-528-06565-6.

Siehe auch

Einzelnachweise

  1. Torsten Fließbach: Allgemeine Relativitätstheorie. 4. Auflage, Elsevier – Spektrum Akademischer Verlag, 2003, Kapitel 17 Verallgemeinerte Vektoroperationen ISBN 3-8274-1356-7
  2. H. B. Lawson, M. Michelsohn: Spin Geometry. Princeton University Press, 1989, ISBN 978-0691085425, S. 123
  3. 3,0 3,1 Nicole Berline, Ezra Getzler, Michèle Vergne: Heat kernels and Dirac operators (= Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 298). Berlin u. a. Springer 1992, ISBN 0-387-53340-0, S. 63–64.

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