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LOOP-Programm


LOOP-Programme sind Programme in der Programmiersprache LOOP, einer stark eingeschränkten, modellhaften Sprache, die nur die Formulierung von Additionen, Wertzuweisungen und endlich oft durchlaufende Schleifen erlaubt. LOOP-Programme spielen in der Theoretischen Informatik eine Rolle, insbesondere in Zusammenhang mit Berechenbarkeit. Eine Funktion heißt LOOP-berechenbar, wenn sie sich als LOOP-Programm formulieren lässt. Die Menge aller LOOP-Programme wird mit [math]LOOP[/math] bezeichnet.

Eigenschaften

Jede primitiv-rekursive Funktion ist LOOP-berechenbar und umgekehrt[1].

Im Unterschied zu GOTO-Programmen und WHILE-Programmen terminieren LOOP-Programme immer[2]. Deswegen ist die Menge der durch LOOP-Programme berechenbaren Funktionen eine echte Untermenge der berechenbaren Funktionen (und damit eine Untermenge der durch WHILE- bzw. GOTO-Programme berechenbaren Funktionen)[3].

Ein Beispiel für eine berechenbare, aber nicht LOOP-berechenbare totale Funktion ist die Ackermann-Funktion[4].

Formale Definition

Syntax

LOOP-Programme bestehen aus den Symbolen LOOP, DO, END, :=, +, - und ; sowie einer beliebigen Anzahl von Variablen und Konstanten. LOOP-Programme haben folgende Syntax in modifizierter Backus-Naur-Form:

[math]\begin{array}{lrl} P & := & x_i := x_j + c \\ & | & x_i := x_j - c \\ & | & P;P \\ & | & \mathrm{LOOP} \, x_i \, \mathrm{DO} \, P \, \mathrm{END} \end{array} [/math]

Hierbei sind [math]Var := \{ x_0, x_1, ... \}[/math] Variablennamen und [math]c \in \mathbb{N}[/math] Konstanten.

Semantik

Ein Ausdruck der Form

x0 := x1 + c

bedeutet die Zuweisung des um [math]c[/math] erhöhten Wertes der Variablen [math]x_1[/math] an die Variable [math]x_0[/math]. Dabei ist für [math]c[/math] der Wert Null zulässig, so dass sich auch die direkte Zuweisung des Wertes einer Variablen an eine andere Variable mit diesem syntaktischen Konstrukt formulieren lässt:

x0 := x1 + 0

Ein Ausdruck der Form

x0 := x1 - c

bedeutet die Zuweisung des um [math]c[/math] verminderten Wertes der Variablen [math]x_1[/math] an die Variable [math]x_0[/math]. Bei der Ausführung von Zuweisungen werden negative Werte implizit durch Nullen ersetzt.

Variablen dürfen in Zuweisungsausdrücken gleichzeitig auf der linken und auf der rechten Seite des Symbols := erscheinen. Ein Ausdruck der Form

x := x + c

erhöht beispielsweise den Wert der Variablen [math]x[/math] um [math]c[/math].

Die in einem LOOP-Programm verwendeten Variablen werden vor Beginn des Programmablaufs mit vorgegeben Initialwerten vorbelegt.

Ein Ausdruck der Form

P1; P2

bedeutet die Hintereinanderausführung der Teilprogramme [math]P_1[/math] und [math]P_2[/math] in dieser Reihenfolge. Ein Ausdruck der Form

LOOP x DO P END

bedeutet die [math]x[/math]-fache Ausführung des Teilprogramms [math]P[/math], wobei [math]x[/math] den Wert am Beginn der Abarbeitung darstellt. (Auch wenn [math]x[/math] durch die Ausführung von [math]P[/math] verändert wird, wird [math]P[/math] nur so oft ausgeführt, wie [math]x[/math] am Anfang war.) Hat [math]x[/math] dabei den Wert Null, so wird das Teilprogramm [math]P[/math] innerhalb des LOOP-Ausdrucks überhaupt nicht ausgeführt. Dieser Umstand erlaubt die Formulierung von Verzweigungen in LOOP-Programmen durch die bedingte Ausführung von Teilprogrammen in Abhängigkeit vom Wert einer Variablen.

Beispielprogramme

Addition

Das folgende LOOP-Programm weist der Variablen [math]x_0[/math] die Summe der Werte der Variablen [math]x_1[/math] und [math]x_2[/math] zu.

x0 := x1 + 0;
LOOP x2 DO
   x0 := x0 + 1
END

Dabei bekommt zunächst [math]x_0[/math] den aktuellen Wert von [math]x_1[/math] zugewiesen und wird dann um den Wert von [math]x_2[/math] inkrementiert.

Dieses Programm lässt sich als Unterprogramm in anderen LOOP-Programmen verwenden. Solche Verwendungen werden durch eine einfache Erweiterung der ursprünglichen LOOP-Syntax in der Form

x0 := x1 + x2

beschrieben.

Multiplikation

Das folgende LOOP-Programm erhöht den Wert der Variablen [math]x_0[/math] um den Wert des Produktes der Werte der Variablen [math]x_1[/math] und [math]x_2[/math].

LOOP x1 DO
  x0 := x0 + x2
END

Das Programm benutzt dabei das im ersten Beispiel definierte Unterprogramm der Addition. Die ausgeführte Multiplikation wird dabei durch das [math]x_1[/math]-fache Addieren des Wertes von [math]x_2[/math] zum Wert von [math]x_0[/math] realisiert.

Simulation von LOOP-Programmen durch WHILE-Programm

Ein jedes LOOP-Programm

LOOP x DO P END

kann durch das folgende WHILE-Programm simuliert werden

y := x
WHILE y != 0 DO y := y-1; P END

Siehe auch

Einzelnachweise

  1. Uwe Schöning: Theoretische Informatik- kurz gefasst. 5. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2008, ISBN 978-3-8274-1824-1, S. 105.
  2. Uwe Schöning: Theoretische Informatik- kurz gefasst. 5. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2008, ISBN 978-3-8274-1824-1, S. 93.
  3. Schöning, 2001, S. 122
  4. Uwe Schöning: Theoretische Informatik- kurz gefasst. 5. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2008, ISBN 978-3-8274-1824-1, S. 112.

Literatur


Kategorien: Berechenbarkeitstheorie

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/LOOP-Programm (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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