Lösungsmenge - LinkFang.de





Lösungsmenge


In der Mathematik wird die Menge der Lösungen einer Gleichung, einer Ungleichung, eines Systems von Gleichungen und Ungleichungen oder allgemein Menge von (logischen) Aussagen oft als Lösungsmenge bezeichnet.

Lösungsmenge

Allgemein betrachtet man eine Menge von Aussagen mit Parametern, die Variablen oder Unbekannte genannt werden, zum Beispiel eine Gleichung, ein Gleichungssystem oder eine Ungleichung. Als Lösungsmenge [math]L[/math] bezeichnet man nun die Menge der Belegungen dieser Variablen, sodass alle Aussagen der Menge wahr sind. Lösungsmengen können nach ihrer Größe wie folgt klassifiziert werden:

  • [math]|L| = 0[/math]: es gibt keine Lösung (die Aussagen sind unerfüllbar; die Lösungsmenge ist leer)
  • [math]|L| = 1[/math]: es gibt genau eine Lösung (die Aussagen sind eindeutig erfüllbar; die Lösungsmenge besteht aus genau einem Element)
  • [math]|L| \gt 1[/math]: es gibt mehrere, möglicherweise unendlich viele, Lösungen (die Aussagen sind erfüllbar, aber nicht eindeutig; die Lösungsmenge besteht aus mehr als einem Element)

Dabei hängt die Lösungsmenge sowohl von der Aussagenmenge selbst, als auch vom Definitionsbereich der Variablen ab. So hat beispielsweise die Gleichung [math]x^2=-1[/math] für [math]x\in\mathbb R[/math] (reelle Zahlen) keine Lösung, hingegen für [math]x\in\mathbb C[/math] (komplexe Zahlen) zwei Lösungen.

Lösungsraum

Die Lösungsmenge eines homogenen, beziehungsweise inhomogenen linearen Gleichungssystems ist immer ein Vektorraum, beziehungsweise ein affiner Raum. Hat die Lösungsmenge eine solche Struktur, so spricht man auch von einem Lösungsraum. Ist [math]Ax=b[/math] ein inhomogenes lineares Gleichungssystem, ist also [math]A[/math] die Abbildungsmatrix der Abbildung [math]\Phi\colon V\to W[/math] und [math]\Phi[/math] eine lineare Abbildung zwischen zwei Vektorräumen [math]V[/math] und [math]W[/math] und ist [math]0\ne b\in W[/math], dann gibt es drei Möglichkeiten:

  • Die Lösungsmenge ist leer. Dies ist genau dann der Fall, wenn die rechte Seite [math]b[/math] nicht im Bild der Abbildung liegt.
  • Es existiert genau eine Lösung [math]x[/math], nämlich wenn der Kern [math]K[/math] der Abbildung nur aus dem Nullvektor besteht.
  • Es gibt unendlich viele Lösungen, wobei sich alle Lösungen aus einer beliebigen Lösung [math]x_0[/math] durch Superposition mit den Lösungen der zugehörigen homogenen Gleichung [math]Ax=0[/math] ergeben. Man nennt [math]x_0[/math] in diesem Zusammenhang eine Partikularlösung. Die Lösungsmenge ist also der affine Raum [math]x_0+K[/math].

Beispiele

Es ist jeweils eine Gleichung und ihre Lösungsmenge für [math] x,y \in \mathbb R [/math] angegeben:

  • [math]x = 1 \qquad\;\, L = \left\{1\right\}[/math]
  • [math]x + 2 = 5 \;\;\, L = \left\{3\right\}[/math]
  • [math]\frac{1}{x^2} = 9 \qquad L = \{-\tfrac{1}{3}; \tfrac{1}{3}\}[/math]
  • [math]x^2 \leq 4 \qquad L = [-2; 2][/math], die Lösungsmenge ist ein Intervall
  • [math]xy = 1 \qquad L = \left\{ \left(x;\frac{1}{x}\right) | x \neq 0 \right\}[/math], die Lösungsmenge ist eine Menge von Paaren.
  • Ein lineares Gleichungssystem:
[math]\begin{matrix} x & + & 2y & = & 8\\ 2x & + & y & = & 7\\ \end{matrix} \qquad L = \{ (2;3) \}[/math]

Literatur


Kategorien: Keine Kategorien vorhanden!

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Lösungsmenge (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

Änderungen: Alle Bilder mit den meisten Bildunterschriften wurden entfernt. Ebenso alle zu nicht-existierenden Artikeln/Kategorien gehenden internen Wikipedia-Links (Bsp. Portal-Links, Redlinks, Bearbeiten-Links). Entfernung von Navigationsframes, Geo & Normdaten, Mediadateien, gesprochene Versionen, z.T. ID&Class-Namen, Style von Div-Containern, Metadaten, Vorlagen, wie lesenwerte Artikel. Ansonsten sind keine Inhaltsänderungen vorgenommen worden. Weiterhin kann es durch die maschinelle Bearbeitung des Inhalts zu Fehlern gerade in der Darstellung kommen. Darum würden wir jeden Besucher unserer Seite darum bitten uns diese Fehler über den Support mittels einer Nachricht mit Link zu melden. Vielen Dank!

Stand der Informationen: August 201& - Wichtiger Hinweis: Da die Inhalte maschinell von Wikipedia übernommen wurden, ist eine manuelle Überprüfung nicht möglich. Somit garantiert LinkFang.de nicht die Richtigkeit und Aktualität der übernommenen Inhalte. Sollten die Informationen mittlerweile fehlerhaft sein, bitten wir Sie darum uns per Support oder E-Mail zu kontaktieren. Wir werden uns dann innerhalb von spätestens 10 Tagen um Ihr Anliegen kümmern. Auch ohne Anliegen erfolgt mindestens alle drei Monate ein Update der gesamten Inhalte.