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Lévy-Verteilung


Lévy-Verteilungen (benannt nach dem französischen Mathematiker Paul Lévy) sind eine Familie von Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit der besonderen Eigenschaft, dass deren Erwartungswert im Unendlichen liegt.

Definition

Die Dichtefunktion der Lévy-Verteilungen lautet

[math] f(x)=\sqrt{\frac{\gamma}{2 \pi}} \cdot \frac{1}{(x-\mu)^{3/2}} \cdot \exp\left(-\frac{\gamma}{2(x-\mu)}\right),\quad x\gt\mu [/math]., mit den beiden Parametern [math]\gamma \gt0,\, \mu \in \mathbb R[/math].
[math]\mu [/math] ist der Lageparameter und definiert die Position auf der x-Achse
[math]\gamma [/math] ist der Skalierungsparameter (Stauchung falls <1; Streckung falls >1)

Standard-Lévy-Verteilung

Bei der Standard-Lévy-Verteilung entfallen die beiden Parameter (d. h. [math]\gamma =1,\, \mu=0 [/math])

[math] f(x)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi \cdot x^3}} \cdot e^{-\frac{1}{2x}},\quad x\gt0[/math].

Sie ähnelt einer Normalverteilung, bei der die Standardabweichung nicht konstant ist, sondern mit zunehmendem x steigt: [math]\sigma = x^{3/2}[/math]

Eigenschaften

Die Standard-Lévy-Verteilung gehört (wie die Normalverteilung und die Cauchy-Verteilung) zur übergeordneten Familie der alpha-stabilen Verteilungen, d. h. sie erfüllt die Bedingung

[math] (X_1 + X_2 + \dotsb + X_n) \sim n^{1/\alpha}X [/math],

Wobei [math]X_1, X_2, \ldots, X_n, X [/math] unabhängige Standard-Lévy-Variablen sind (hier ist [math]\alpha=1/2[/math]). Da die Theorie der alpha-stabilen Verteilungen maßgeblich von Lévy mitgestaltet wurde, spricht man, um Verwechslungen vorzubeugen, auch oft von der eigentlichen Lévy-Verteilung.

Momente

Die Lévy-Verteilung besitzt weder endlichen Erwartungswert noch endliche Varianz, denn [math]E(|X|)=\infty[/math]. Die Lévy-Verteilung gehört somit zu den sogenannten heavy-tailed distributions, die vor allem dazu verwendet werden, extreme Ereignisse (z.B. einen Börsencrash in der Finanzmathematik) zu modellieren.

Anwendung

Mit der Lévy-Verteilung lassen sich verschiedene Phänomene, insbesondere in der Natur beschreiben:

Einzelnachweise

  1. 1,0 1,1 Applebaum, D.: Lectures on Lévy processes and Stochastic calculus, Braunschweig; Lecture 2: Lévy processes (PDF; 282 KB) University of Sheffield. S. 37–53. 22. Juli 2010. Abgerufen am 13. Juni 2014.
  2. Belle Dumé: Geomagnetic flip may not be random after all . In: physicsworld.com. 21. März 2006. Abgerufen am 13. Juni 2014.

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Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Lévy-Verteilung (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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