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Kugelkondensator


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Unter einem Kugelkondensator versteht man einen elektrischen Kondensator welcher aus zwei konzentrischen, gegeneinander isolierten, metallischen Kugeloberflächen besteht.

Für die Kapazität eines Kugelkondensators mit den Radien R1 und R2 gilt:

[math]C=4 \pi \varepsilon \frac{R_2 R_1}{R_2 - R_1}[/math], mit [math]\varepsilon= \varepsilon_0\varepsilon_r[/math]

ε0 ist hierbei die elektrische Feldkonstante. εr ist die Dielektrizitätszahl welche im Vakuum gleich 1 ist.

Herleitung der Kapazität

Für eine infinitesimal kleine Kugelschale zwischen R1 und R2 gilt für das infinitesimal kleine Reziproke der Kapazität der bekannte Zusammenhang des Plattenkondensators:

[math]\mathrm d\frac{1}{C} = \frac{1}{\varepsilon}\cdot\frac{\mathrm d r}{A(r)} = \frac{1}{\varepsilon}\cdot\frac{\mathrm d r}{4\pi r^2}[/math]

wobei A(r) die Oberfläche einer Kugel ist. Integriert man nun, so ergibt sich:

[math]\frac{1}{C} = \int\limits_{R_1}^{R_2} \frac{1}{\varepsilon}\cdot\frac{\mathrm d r}{4\pi r^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon}\cdot\left ( \frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2} \right )[/math]

Umgestellt nach der Kapazität C ergibt dies oben genannte Formel.

Alternativ lässt sich auch die Definition [math]C = \frac{Q}{U}[/math] nutzen, wenn man die Formel im Abschnitt Spannung zwischen innerer und äußerer Platte verwendet.

Näherungen

  • Wenn [math]d=R_2 - R_1 \ll R_1 [/math] ist, kann man angenähert [math]R_1=R_2=R[/math] setzen und erhält: [math]C=4 \pi \varepsilon \frac{R^2}{d} [/math].
  • Wenn [math]R_1 \ll R_2 [/math] ist, kann man angenähert [math]R_2 - R_1 = R_2[/math] setzen und erhält: [math]C=4 \pi \varepsilon R_1 [/math],

die Kapazität wird vom Radius der Innenkugel bestimmt.

Diese Näherung beschreibt auch die Kapazität einer freistehenden Kugel, da hier die Gegenelektrode sehr weit entfernt ist ([math]R_2 \to \infty[/math] und somit [math] R_1 \ll R_2 [/math]).

Ladungsdichte

Die Ladungsdichte lässt sich schreiben als [math]\varrho(r) =\frac{Q}{4\pi R_1^2} \, \delta(r-R_1)-\frac{Q}{4\pi R_2^2} \, \delta(r-R_2)[/math] , wobei [math]\delta[/math] die Dirac'sche Delta-Distribution ist.

Elektrisches Feld

Das elektrische Feld zwischen den zwei Kondensatorschalen lässt sich mit der folgenden Formel berechnen:

[math]E(r)=\frac{Q}{4\pi r^2 \varepsilon_0 \varepsilon_r}[/math] wobei [math]R_1\ltr\ltR_2[/math]

Das Feld ist nicht homogen, sondern abhängig vom Abstand [math]r[/math] zum Mittelpunkt des Kondensators. Außerhalb eines geerdeten Kondensators ist das Feld = 0.

Elektrisches Potential

Das elektrische Potential berechnet sich als [math]\varphi(r)=-\int_\infty^r E(r')\, dr'[/math], das abschnittsweise definiert ist.

  • Für [math]r\ge R_2[/math] ist [math]\varphi(r)=0[/math].
  • Für [math]R_1\ltr\ltR_2[/math] ist [math]\varphi(r)=-\int_{R_2}^r E(r') dr'=\frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r} \, \left(\frac1{r}-\frac1{R_2}\right)[/math].
  • Für [math]r\le R_1[/math] ist [math]\varphi(r)=\frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r} \, \left(\frac1{R_1}-\frac1{R_2}\right)[/math].

Spannung zwischen innerer und äußerer Platte

Die Spannung zwischen der inneren und äußeren Kugel berechnet sich wie folgt:

[math]U=\varphi(R_1)-\underbrace{\varphi(R_2)}_{=0}=\int_{R_1}^{R_2} E(r) \,\mathrm dr\,=\frac{Q}{4\pi \varepsilon_0\varepsilon_r}\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right)[/math]

Kategorien: Theoretische Elektrotechnik | Kondensator (Elektrotechnik)

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