Kritischer Punkt (Dynamik) - LinkFang.de





Kritischer Punkt (Dynamik)


Als kritischer Punkt (auch: Fixpunkt, Gleichgewichtspunkt oder Ruhelage) wird in der Theorie dynamischer Systeme ein Punkt im Phasenraum bezeichnet, d.h. ein Zustand, den das System nicht verlässt, sofern keine Störungen auf es einwirken.

Je nachdem, ob Trajektorien, die im Phasenraum nahe einem solchen Punkt liegen, angezogen oder abgestoßen werden, wird der Punkt bezeichnet als:

  • stabil (bei Anziehen), Beispiel: eine ruhende Kugel in einer Mulde, oder
  • instabil (bei Abstoßen), Beispiel: ein auf dem Kopf stehendes, ausbalanciertes Pendel.

Durch Berechnung kritischer Punkte und ihrer Stabilität kann die zeitliche Entwicklung eines dynamischen Systems charakterisiert werden, ohne die zugehörigen Gleichungen lösen zu müssen:

  • ist das System durch eine Differentialgleichung der Form [math]\dot{\vec{x}} = f(\vec{x})[/math] gegeben (kontinuierliches dynamisches System), so ist eine Ruhelage bzw. ein Fixpunkt [math]\vec{x}[/math] gegeben durch die Bedingung [math]f(\vec{x}) = 0[/math]. Je nach Anzahl der Lösungen für diese Gleichung kann das System beliebig viele kritische Punkte besitzen.
  • liegt dem System eine iterierte Abbildung [math]\vec{x}_{n+1} = f(\vec{x}_n) \; \text{mit} \; n = 0, 1, 2, \, \ldots[/math] zugrunde (diskretes dynamisches System), so lautet die Fixpunktbedingung [math]f(\vec{x}_n) = \vec{x}_n[/math].

In beiden Fällen ist der Zustand [math]\vec{x}[/math] zu allen Zeiten der gleiche, man sagt auch "invariant gegenüber der Dynamik [math]f[/math]".

Siehe auch


Kategorien: Theorie dynamischer Systeme

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