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Kreissegment


Kreissegment (Kreisabschnitt) nennt man in der Geometrie eine Teilfläche einer Kreisfläche, die von einem Kreisbogen und einer Kreissehne begrenzt wird.

Größen des Kreissegments:

  • α = Mittelpunktswinkel
  • b = Kreisbogen
  • h = Segmenthöhe
  • r = Radius
  • s = Kreissehne
  • A = Segmentfläche
  • M = Kreismittelpunkt

Der Flächeninhalt eines Kreissegments lässt sich aus dem Kreisradius r und dem zugehörigen Mittelpunktswinkel [math]\alpha[/math] berechnen. Man ermittelt dazu die Flächeninhalte des entsprechenden Kreissektors und des in der Skizze dargestellten gleichschenkligen Dreiecks A-M-B. Ist der Mittelpunktswinkel kleiner als 180°, so muss man diese Flächeninhalte subtrahieren (Sektorfläche minus Dreiecksfläche). Bei einem Mittelpunktswinkel über 180° sind die Flächeninhalte zu addieren. Wenn der Mittelpunktswinkel genau 180° beträgt, ist das Kreissegment eine Halbkreisfläche, und die Fläche des Dreiecks ist 0.

In den Formeln der folgenden Tabelle sind Winkel in Bogenmaß einzusetzen. Die Umrechnung der Maßzahl eines Winkels von Grad in Bogenmaß erfolgt mit dem Faktor [math]\pi/180^\circ[/math] (s. Radiant).

Formeln zum Kreissegment
(alle Winkel in Bogenmaß)
Flächeninhalt [math]A = \frac{r^2}2 \cdot \left(\alpha-\sin\alpha\right)[/math]

[math]A = \frac{r \cdot b}{2} - \frac{s \cdot (r - h)}{2}[/math]

[math]A = \frac { \frac{1}{2} \arctan \left(\frac{2 h}{s}\right) \cdot (4 h^2 + s^2)^2 + hs \cdot (4 h^2 - s^2)}{16 h^2}[/math]

[math]A = r^2 \cdot \arccos{\left(1-\frac{h}{r}\right)}-(r-h) \cdot \sqrt{2rh-h^2}[/math]

Radius [math]r = \frac{4 h^2 + s^2}{8 h}[/math]

[math]r = \frac{s}{2 \cdot \sin \frac{\alpha}{2}}[/math]

[math]r = \frac{h}{1 - \cos \left(\frac{\alpha}{2}\right)}[/math]

Kreissehne [math]s = 2 r \cdot \sin \left(\frac{\alpha}{2}\right)[/math]

[math]s = \frac{2 h}{\tan \left(\frac{\alpha}{4}\right)} = 2 h \cdot \cot \left(\frac{\alpha}{4}\right)[/math]

[math]s=2\cdot\sqrt{r^2-(r-h)^2} = 2\sqrt{2rh-h^2}[/math]

Segmenthöhe [math]h = r \cdot \left(1 - \cos \left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)[/math]

[math]h = r - \sqrt{ r^2 - \left(\frac{s}{2}\right)^2 } = r - \frac{1}{2}\sqrt{4r^2-s^2}[/math]

[math]h = \frac{s}{2} \cdot \tan \left(\frac{\alpha}{4}\right)[/math]

Bogenlänge [math]b = r \cdot \alpha,[/math]

[math]b = \frac{\alpha\cdot (4 h^2 + s^2)}{8 h},[/math]

[math]b = \frac{\arctan \left(\frac{2 h}{s}\right) \cdot (4 h^2 + s^2)}{2 h}[/math]

[math]b = 2 \cdot r \cdot \arcsin \left(\frac{s}{2 r}\right)[/math]

Mittelpunktswinkel [math]\alpha\ = 2 \cdot \arctan \left(\frac{s}{2(r-h)}\right)[/math]

[math]\alpha\ = 2 \cdot \arccos \left(1 -\frac{h}{r}\right)[/math]

[math]\alpha\ = 2 \cdot \arcsin \left(\frac{s}{2 r}\right)[/math]

[math]\alpha\ = 2 \cdot \arcsin \left(\frac{4 h s}{4 h^2 + s^2}\right)[/math]

Flächenschwerpunkt [math]x_s = \frac{4}{3} \cdot \frac{r \cdot \sin^3(\frac{\alpha}{2})}{ \alpha - \sin \alpha},\qquad y_s = 0[/math]

[math]x_s = \frac{s^3}{12 \cdot A},\qquad y_s = 0[/math]

Sonderfall Halbkreis:
[math]x_s = \frac{4 r}{3 \pi},\qquad y_s = 0[/math]

Ähnliche geometrische Objekte

Das dreidimensionale Analogon ist ein Kugelsegment.

Weblinks


Kategorien: Geometrische Figur | Kreisgeometrie

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