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Kongruenzrelation


In der Mathematik, genauer der Algebra, nennt man eine Äquivalenzrelation auf einer algebraischen Struktur eine Kongruenzrelation, wenn die Operationen der algebraischen Struktur mit dieser Äquivalenzrelation verträglich sind. In allgemeiner Form, wie hier dargestellt, werden sie in der universellen Algebra untersucht.

Definition

Seien [math]A[/math] eine Menge, [math]f\colon A^n \rightarrow A[/math] eine [math]n[/math]-stellige Operation (Funktion) auf [math]A[/math] und [math]\theta[/math] eine Äquivalenzrelation auf [math]A[/math]. Man nennt [math]f[/math] mit [math]\theta[/math] verträglich, falls für alle [math]a_1, \dots, a_n, b_1, \dots, b_n \in A[/math] mit [math]a_1 \theta b_1, \dots, a_n \theta b_n[/math] immer

[math]f(a_1, \dots, a_n) \theta f(b_1, \dots, b_n)[/math]

gilt.

Sei nun [math](A, (f_i))[/math] eine algebraische Struktur, dann wird [math]\theta[/math] Kongruenzrelation auf [math](A, (f_i))[/math] genannt, falls alle [math]f_i[/math] verträglich sind mit [math]\theta.[/math]

Anwendung

Aus einer algebraischen Struktur [math]\mathbf{A}[/math] und einer Kongruenzrelation [math]\theta[/math] auf dieser algebraischen Struktur kann eine neue algebraische Struktur [math]\mathbf{A} / \theta[/math] gewonnen werden, die sogenannte Faktorstruktur, Faktoralgebra, Quotientenalgebra oder Quotientenstruktur, dabei ist die Grundmenge von [math]\mathbf{A} / \theta[/math] gerade die Faktormenge [math]A / \theta[/math] und für jede [math]n[/math]-stellige Operation [math]f_{\mathbf{A}}: A^n \rightarrow A[/math] von [math]\mathbf{A}[/math] wird eine neue Operation [math]f_{\mathbf{A} / \theta}: (\mathbf{A} / \theta)^n \rightarrow \mathbf{A} / \theta[/math] auf [math]\mathbf{A} / \theta[/math] definiert durch

[math]f_{\mathbf{A} / \theta}([a_1]_\theta, \dots, [a_n]_\theta):=[f_{\mathbf{A}}(a_1, \dots, a_n)]_\theta [/math].

Beispiele

  1. Für alle algebraischen Strukturen sind [math]\Delta_A = \{ (a, a) | a \in A \}[/math] (genannt Diagonale oder Identität) und [math]\nabla_A = A^2[/math] (genannt Allrelation) immer Kongruenzrelationen.
  2. Ist [math]\varphi : \mathbf{A} \rightarrow \mathbf{B} [/math] ein Homomorphismus zwischen den beiden algebraischen Strukturen [math]\mathbf{A}[/math] und [math]\mathbf{B}[/math]. Definiere [math]\mbox{Kern} \varphi := \{(a,b) \in A^2 | \varphi a = \varphi b \} [/math]. Dann ist [math]\mbox{Kern} \varphi[/math] eine Kongruenzrelation auf [math]\mathbf{A}[/math].
  3. Sei [math]\mathbf{G} = (G, \cdot, ^{-1}, e)[/math] eine Gruppe, [math]N[/math] ein Normalteiler dieser Gruppe. [math]\theta_N[/math] sei diejenige Äquivalenzrelation auf [math]G[/math] mit den Äquivalenzklassen [math]aN, \quad a \in G[/math], dann ist [math]\theta_N[/math] eine Kongruenzrelation auf [math]\mathbf{G}[/math]. Man kann sogar zeigen, dass [math]N \mapsto \theta_N[/math] eine bijektive Abbildung zwischen den Normalteilern und den Kongruenzrelationen einer Gruppe ist. Bei einer Gruppe entsprechen also Kongruenzrelationen genau den Normalteilern.
  4. Die analoge Aussage wie oben gilt auch für Ideale von Ringen und für Unterräume von Vektorräumen. (Sprich: Die von Idealen bzw. Unterräumen bestimmten Äquivalenzklassen entsprechen genau den von Kongruenzrelationen bestimmten Klassen).
  5. Infolgedessen gibt es für Algebren und Kongruenzen auch einen Homomorphiesatz sowie die beiden Isomorphiesätze. Sie stellen eine Verallgemeinerung der von Gruppen (und Ringen bzw. Vektorräumen) bekannten Sätze dar, sodass der Homomorphiesatz bei den Gruppen in größerem Kontext gesehen werden kann.

Homomorphiesatz (für Algebren): Sind [math]\mathbf{A}[/math] und [math]\mathbf{B}[/math] zwei Algebren gleichen Typs (d.h. gibt es zu jeder n-stelligen Funktion [math]f:\mathbf{A}^n\to\mathbf{A}[/math] genau eine "passende" n-stelligen Funktion [math]g:\mathbf{B}^n\to\mathbf{B}[/math]) und ist [math]\varphi:\mathbf{A}\to\mathbf{B}[/math] ein Algebrenhomomorphismus mit Kern [math]\theta_\varphi[/math], so gilt: [math]\mathbf{A} / \theta_\varphi\simeq\varphi(\mathbf{A})[/math]

Ebenso könnte man die Isomorphiesätze formulieren, für die man zuerst geeignet den Begriff der Faktorkongruenz benötigt.ar:حسابيات نمطية ca:Congruència cs:Kongruence

es:Congruencia (teoría de números) eu:Kongruentzia (zenbaki-teoria) fi:Kongruenssi gl:Congruencia (álxebra) he:קונגרואנציה hu:Kongruencia io:Kongruo kk:Конгруэнция ko:합동 (대수학) la:Congruentia nl:Congruentie (rekenkunde) pl:Kongruencja (algebra) pt:Congruência (álgebra) ru:Конгруэнция sk:Relácia kongruencie (algebra) sl:Kongruenca sv:Kongruensrelation vi:Đồng dư zh:同餘關係


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