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Kompressionsmodul


Der Kompressionsmodul (Formelzeichen: K) ist eine intensive und stoffeigene physikalische Größe aus der Elastizitätslehre. Er beschreibt, welche allseitige Druckänderung nötig ist, um eine bestimmte Volumenänderung hervorzurufen (dabei darf kein Phasenübergang auftreten). Die Eigenschaft von Stoffen, dass sie einer Komprimierung Widerstand entgegensetzen, hat ihre Ursache im Pauli-Prinzip.

Die Kompression, Verdichtung, Komprimierung ist ein (allseitiges) Zusammendrücken eines Körpers, welches dessen Volumen verringert und seine Dichte (Massendichte) erhöht. Körper werden nur als kompressibel betrachtet, wenn die auftretenden Druckveränderungen ausreichen, um merkliche Dichteänderungen zu verursachen, was meist (nur) bei Gasen der Fall ist. Nach dem Vorgang ist der Körper verdichtet (komprimiert). In der Regel erfolgt nur eine elastische Verformung und die Verdichtung kehrt sich beim Nachlassen des Drucks wieder um, der Körper dehnt sich wieder aus (Ausdehnung = Expansion). Bei Festkörpern kann zwar abhängig von Material bei hohen Drücken teilweise eine bleibende Änderung der Struktur mit erhöhter Dichte eintreten, die bleibende Verdichtung ist aber ein anderer Vorgang, der nicht vom Kompressionsmodul beschrieben wird. Auch eine Erhöhung anderer spezifischer Größen als der Massendichte wird nicht vom Kompressionsmodul beschrieben.

Definition

Der Kompressionsmodul ist definiert als:

[math]K := - V \cdot \frac { \mathrm d p} {\mathrm d V} = - \frac {\mathrm d p} {\mathrm d V/V}[/math]

Das negative Vorzeichen entsteht, weil bei einem Druckzuwachs das Volumen abnimmt, also dV negativ ist, aber K positiv bleiben soll. Die SI-Einheit des Kompressionsmoduls ist Pascal bzw. Newton/Quadratmeter. Der Kompressionsmodul ist eine Materialkonstante, die von der Temperatur und vom Druck abhängig ist. Der Zahlenwert stellt den Druck dar, bei dem das Volumen zu 0 wird, wenn der Kompressionsmodul bei höheren Drücken nicht ansteigen würde.

Hierbei stehen die einzelnen Formelzeichen für folgende Größen:

  • V - Volumen
  • dp - infinitesimale Druckänderung
  • dV - infinitesimale Volumenänderung
  • dV/V - relative Volumenänderung

Kompressibilität

Der Kehrwert des Kompressionsmoduls ist die Kompressibilität (Formelzeichen: κ oder χ), auch Kompressibilitätskoeffizient. Dieser wird oft bei Gasen und Flüssigkeiten anstatt des Kompressionsmoduls verwendet.

[math]\kappa = \frac{1}{K} = - \frac{\mathrm d V/V}{\mathrm d p} = - \frac{1}{V} \frac{\mathrm d V}{\mathrm d p}[/math].

Man unterscheidet zwischen isothermer Kompressibilität [math]\kappa_{T}[/math] (konstante Temperatur [math]T[/math] und konstante Teilchenzahl [math]N[/math]), wobei [math]F(T,V,N)[/math] die Freie Energie ist

[math]\kappa_{T} = - \frac{1}{V} \left( \frac{\partial V}{\partial p} \right)_{T,N} = \frac{1}{pV} \left( \frac{\partial F}{\partial p} \right)_{T,N}[/math]

und adiabatischer Kompressibilität [math]\kappa_{S}[/math] (konstante Entropie [math]S[/math] und konstante Teilchenzahl [math]N[/math]), wobei [math]U(S,V,N)[/math] die Innere Energie ist

[math]\kappa_{S} = - \frac{1}{V} \left( \frac{\partial V}{\partial p} \right)_{S,N} = \frac{1}{pV} \left( \frac{\partial U}{\partial p} \right)_{S,N}\;.[/math]

Bei Gasen folgt die Kompressibilität im Rahmen der Näherung als Ideales Gas dem Boyle-Mariotte-Gesetz mit dem einfachen Ergebnis:

[math] \kappa_T=1/p\, [/math]
[math] \kappa_S=1/(\gamma\, p)\;, [/math]

wobei [math]\gamma[/math] (oft auch als κ bezeichnet) der Isentropenexponent ist.

Die Kompressibilität von Flüssigkeiten wurde lange bezweifelt, bis sie John Canton 1761, Jacob Perkins 1820 und Hans Christian Oersted 1822 durch Messungen nachweisen konnten.

Kompressionsmodul von Festkörpern mit isotropem Materialverhalten

Man kann den Kompressionsmodul hierbei aus anderen Elastizitätskonstanten errechnen, unter Voraussetzung linear-elastischen Verhaltens und isotropen Materials:

[math]K = \frac {E} {3 - 6\nu} = \frac {GE} {9G - 3E} = \frac {2G(1+\nu)} {3(1-2\nu)}[/math]

wobei:

Beispiele

Kompressionsmodul-Werte einiger Substanzen
Luft Druck (isotherm), 1,01·105 Pa bei Atmosphärendruck
Luft Druck·1,4 (adiabatisch), 1,42·105 Pa bei Atmosphärendruck
Helium im festen Zustand 5·107 Pa (geschätzt)
Öl 109 bis 1,6·109 Pa[1]
Wasser 2,08·109 Pa (Wert steigt bei Druckanstieg)
Methanhydrat 9,1·109 Pa (linear approximiert im Druckbereich 10-100 MPa)
Glas 3,5·1010 bis 5,5·1010 Pa
Stahl 1,6·1011 Pa
Diamant 4,42·1011 Pa
Osmium 4,62·1011 Pa
ADNR 4,91·1011 Pa Aggregierte Diamant-Nanoröhrchen (härtestes 2008 bekanntes Material[2])

Wasser

Der Kompressionsmodul von Wasser beträgt bei einer Temperatur von 10 °C unter Normaldruck 2,08·109 Pa.

Bezieht man die Kompressibilität des Wassers in die Berechnung des Drucks mit ein, ergibt sich mit der Kompressibilität [math]\kappa = - \frac{\mathrm d V}{V \cdot \mathrm d p} = 0{,}5 \frac{1}{\mathrm{GPa}}[/math] das folgende Diagramm:

Bei einer Dichte von 1.000 kg/m³ in 0 m Tiefe ergibt sich durch Kompressibilität des Wassers in 12.000 m Tiefe eine Erhöhung der Dichte dort um 6 % auf 1.060 kg/m³ und dadurch eine Erhöhung des berechneten realen Drucks vom idealen (ohne Dichteerhöhung) von etwa +3,5 %. Hierbei bleiben jedoch die im Meer weiterhin vorherrschenden Einflüsse von Temperatur, Gas- und Salzgehalten unberücksichtigt.

Neutronensterne

Bei Neutronensternen sind unter dem Druck der Gravitation alle Atomhüllen zusammengebrochen und aus Elektronen der Hüllen und Protonen der Atomkerne sind Neutronen entstanden. Neutronen sind die inkompressibelste Form der Materie, die bekannt ist. Ihr Kompressionsmodul liegt 20 Größenordnungen über dem von Diamanten.

Umrechnung

Umrechnungsformeln
[math](K,\,E)[/math] [math](K,\,\lambda)[/math] [math](K,\,G)[/math] [math](K,\, \nu)[/math] [math](E,\,G)[/math] [math](E,\,\nu)[/math] [math](\lambda,\,G)[/math] [math](G,\,\nu)[/math] [math](G,\,M)[/math]
Kompressionsmodul [math]K=\,[/math] [math]K[/math] [math]K[/math] [math]K[/math] [math]K[/math] [math]\tfrac{EG}{3(3G-E)}[/math] [math]\tfrac{E}{3(1-2\nu)}[/math] [math]\lambda+ \tfrac{2G}{3}[/math] [math]\tfrac{2G(1+\nu)}{3(1-2\nu)}[/math] [math]M - \tfrac{4G}{3}[/math]
Elastizitätsmodul [math]E=\, [/math] [math]E[/math] [math]\tfrac{9K(K-\lambda)}{3K-\lambda}[/math] [math]\tfrac{9KG}{3K+G}[/math] [math]3K(1-2\nu)\,[/math] [math]E[/math] [math]E[/math] [math]\tfrac{G(3\lambda + 2G)}{\lambda + G}[/math] [math]2G(1+\nu)\,[/math] [math]\tfrac{G(3M-4G)}{M-G}[/math]
Lamé-Konstanten [math]\lambda=\,[/math] [math]\tfrac{3K(3K-E)}{9K-E}[/math] [math]\lambda[/math] [math]K-\tfrac{2G}{3}[/math] [math]\tfrac{3K\nu}{1+\nu}[/math] [math]\tfrac{G(E-2G)}{3G-E}[/math] [math]\tfrac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}[/math] [math]\lambda[/math] [math]\tfrac{2 G \nu}{1-2\nu}[/math] [math]M - 2G\,[/math]
Schubmodul [math]G=\, [/math] [math]\tfrac{3KE}{9K-E}[/math] [math]\tfrac{3(K-\lambda)}{2}[/math] [math]G[/math] [math]\tfrac{3K(1-2\nu)}{2(1+\nu)}[/math] [math]G[/math] [math]\tfrac{E}{2(1+\nu)}[/math] [math]G[/math] [math]G[/math] [math]G[/math]
Poissonzahl [math]\nu=\,[/math] [math]\tfrac{3K-E}{6K}[/math] [math]\tfrac{\lambda}{3K-\lambda}[/math] [math]\tfrac{3K-2G}{2(3K+G)}[/math] [math]\nu[/math] [math]\tfrac{E}{2G}-1[/math] [math]\nu[/math] [math]\tfrac{\lambda}{2(\lambda + G)}[/math] [math]\nu[/math] [math]\tfrac{M - 2G}{2M - 2G}[/math]
Longitudinalmodul [math]M=\,[/math] [math]\tfrac{3K(3K+E)}{9K-E}[/math] [math]3K-2\lambda\,[/math] [math]K+\tfrac{4G}{3}[/math] [math]\tfrac{3K(1-\nu)}{1+\nu}[/math] [math]\tfrac{G(4G-E)}{3G-E}[/math] [math]\tfrac{E(1-\nu)}{(1+\nu)(1-2\nu)}[/math] [math]\lambda+2G\,[/math] [math]\tfrac{2G(1-\nu)}{1-2\nu} [/math] [math]M[/math]
Durch zwei beliebige verschiedene Moduln sind die elastischen Eigenschaften von linear-elastischen, homogenen, isotropen Materialien eindeutig bestimmt.

Siehe auch

Quellenangaben

  1. Hydraulik: Grundlagen, Komponenten, Schaltungen. . Springer DE, 1 June 2011, ISBN 978-3-642-17242-7, S. 21– (Zugriff am 1. Februar 2013).
  2. Natalia Dubrovinskaia, Leonid Dubrovinsky, Wilson Crichton, Falko Langenhorst, Asta Richter. Aggregated diamond nanorods, the densest and least compressible form of carbon. Applied Physics Letters, 22 August 2005.

Kategorien: Werkstoffeigenschaft | Festigkeitslehre | Thermodynamik

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Kompressionsmodul (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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