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Koeffizientenvergleich


Der Koeffizientenvergleich ist ein Verfahren aus der linearen Algebra, bei dem die Koeffizienten von zwei Linearkombinationen einer linear unabhängigen Teilmenge eines Vektorraums verglichen werden. Häufig verwendet wird ein Polynomraum als Vektorraum mit den Monomen (mit Koeffizient 1) als linear unabhängiger Teilmenge, zum Beispiel bei der Partialbruchzerlegung. Man verwendet dabei die Tatsache, dass zwei Linearkombinationen derselben linear unabhängigen Teilmenge genau dann gleich sind, wenn die entsprechenden Koeffizienten gleich sind.

Polynome

Zwei Polynome

[math] P(x)=a_0 + a_1\cdot x + a_2\cdot x^2+...+a_n\cdot x^n[/math]

und

[math]Q(x)=b_0 + b_1\cdot x + b_2\cdot x^2+...+b_n\cdot x^n[/math]

sind gleich, wenn ihre Koeffizienten übereinstimmen:

[math]a_0 = b_0, a_1 = b_1, \ldots, a_n = b_n.[/math]

Beispiel

Es sind die beiden Polynome [math]P(x) = 0 + 2a + a \cdot x + b[/math] und [math]Q(x) = 2x + 1\!\,[/math] gegeben. Für welche Werte von [math]a[/math] und [math]b[/math] sind die beiden Polynome gleich?

Verglichen werden:

  1. [math]a \cdot x = 2x[/math] (Vergleich der Koeffizienten von [math]x^1[/math])
  2. [math]2a + b = 1\!\,[/math] (Vergleich der Koeffizienten von [math]x^0[/math])

Lösung: [math]a = 2[/math] und [math]b=-3[/math]

Trigonometrische Polynome

[math](-a - 8b) \cdot \sin(2x) + (-b + 8a) \cdot \cos(2x) = 130 \cdot \sin(2x)[/math]
Verglichen werden:

  1. [math](-a-8b) = 130[/math] (Vergleich der Koeffizienten von [math]\sin(2x)[/math])
  2. [math]-b + 8a = 0[/math] (Vergleich der Koeffizienten von [math]\cos(2x)[/math])

Lösung: [math]a=-2[/math]; [math]b = -16[/math]


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Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Koeffizientenvergleich (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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