Kleinsche Flasche - LinkFang.de





Kleinsche Flasche


Die Kleinsche Flasche (auch Kleinscher Schlauch) wurde erstmals 1882 von dem deutschen Mathematiker Felix Klein beschrieben. Sie ist ein Beispiel einer nicht-orientierbaren Fläche. Umgangssprachlich formuliert hat sie die Eigenschaft, dass innen und außen nicht unterschieden werden können, oder anders formuliert, dass sie nur eine einzige Seite besitzt, die gleichzeitig innen und außen ist. Auf der Kleinschen Fläche kann deshalb, so wie beim Möbiusband, kein stetiger Normalenvektor definiert werden. Im Gegensatz zum Möbiusband hat diese Fläche keinen Rand.

Konstruktion

Man beginnt mit einem Quadrat und klebt die Ecken und Ränder mit den entsprechenden Farben zusammen, so dass die Pfeile zueinander passen. Dies ist in der nachfolgenden Skizze dargestellt. Formell gesagt wird die Kleinsche Flasche beschrieben durch die Quotiententopologie des Quadrates [0,1] × [0,1] mit Kanten, welche die folgenden Relationen erfüllen: (0,y) ~ (1,y) für 0 ≤ y ≤ 1 und (x,0) ~ (1-x,1) für 0 ≤ x ≤ 1.

Das Quadrat ist ein Fundamentalpolygon der Kleinschen Flasche.

Man beachte, dass diese Beschreibung das „Kleben“ in einem abstrakten Sinn meint, das versucht, die dreidimensionale Kleinsche Flasche mit sich selbst überkreuzenden Kanten zu konstruieren. Faktisch hat die Kleinsche Flasche keine sich überkreuzenden Kanten. Dessen ungeachtet ist es eine Möglichkeit, dieses Objekt in seiner Konstruktion zu veranschaulichen.

Man klebe die roten Pfeile des Quadrats zusammen (linke und rechte Kanten), so dass man einen Zylinder erhält. Man ziehe den Zylinder etwas auseinander und klebe weiterhin die Enden so zusammen, dass die Pfeile auf den Kreis passen. Dabei wird die Kreisfläche der einen Zylinderfläche durch die der anderen geschoben. Beachte, dass dieser Vorgang zur Überkreuzung von Kanten führt. Man bezeichnet dies als Immersion der Kleinschen Flasche im dreidimensionalen Raum.

Bettet man die Kleinsche Flasche in den vierdimensionalen reellen Raum ein, kann eine Selbstdurchdringung vermieden werden. Anschaulich geschieht dies folgendermaßen: Man nimmt die oben abgebildete Immersion in den dreidimensionalen Raum und belässt die vierte Koordinate zunächst bei null. In der Nähe der Selbstdurchdringung erhöht man den Wert der vierten Koordinate für eine der (lokalen) Komponenten stetig auf eins und senkt sie danach wieder ab. Grafisch lässt sich die vierte Koordinate durch eine unterschiedliche Farbwahl veranschaulichen.

Beschreibung im 3-dimensionalen Raum

Wie auch das Möbiusband ist die Kleinsche Flasche eine zweidimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit, die nicht orientierbar ist. Im Gegensatz zum Möbiusband kann die Kleinsche Flasche nur mit Selbstdurchdringung in den dreidimensionalen Euklidischen Raum [math]\mathbb{R}^3[/math] abgebildet (also nicht eingebettet sondern nur immergiert) werden. Ohne Selbstdurchdringung ist eine Einbettung aber in den [math]\mathbb{R}^4[/math] und höhere Dimensionen möglich.

Eine immergierte Kleinsche Flasche kann für [math]0 \le u \lt 2 \pi [/math] und [math]0 \le v \lt 2\pi [/math] durch folgende Gleichungen im [math]\mathbb{R}^3[/math] dargestellt werden:

[math]x = b\,(1-\sin(u))\,\cos(u)+r\,\cos(v)\,(2\,e^{-(u/2-\pi)^2}-1)[/math]
[math]y = r\,\sin(v)[/math]
[math]z = h\,\sin(u) + 0.5\,r\,\sin(u)\cos(v)\,e^{-(u-3\pi/2)^2},[/math]

wobei [math]r = 2\,-\cos(u)[/math] ist. [math]b[/math] ist die ungefähre Breite, [math]h[/math] die ungefähre Höhe der Figur. Übliche Werte: [math]b = 2[/math], [math]h = 6[/math].

Anmerkung: Die Kleinsche Flasche lässt sich so zerteilen, dass zwei Möbiusbänder daraus entstehen (siehe die Abbildung rechts).

Topologische Eigenschaften

Die Fundamentalgruppe der Kleinschen Flasche hat die Präsentation

[math]\pi_1(K)=\langle a,b| abab^{-1}=1\rangle[/math].

Die Homologiegruppen sind

[math]H_0(K)=\Z, H_1(K)=\Z\oplus\Z/2\Z, H_2(K)=0[/math].

Die Kleinsche Flasche ist die nicht-orientierbare geschlossene Fläche vom Geschlecht 1.

Es gibt eine 2-blättrige Überlagerung der Kleinschen Flasche durch den Torus.

Weblinks

 Commons: Kleinsche Flasche  – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Kategorien: Geometrische Topologie

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Kleinsche Flasche (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

Änderungen: Alle Bilder mit den meisten Bildunterschriften wurden entfernt. Ebenso alle zu nicht-existierenden Artikeln/Kategorien gehenden internen Wikipedia-Links (Bsp. Portal-Links, Redlinks, Bearbeiten-Links). Entfernung von Navigationsframes, Geo & Normdaten, Mediadateien, gesprochene Versionen, z.T. ID&Class-Namen, Style von Div-Containern, Metadaten, Vorlagen, wie lesenwerte Artikel. Ansonsten sind keine Inhaltsänderungen vorgenommen worden. Weiterhin kann es durch die maschinelle Bearbeitung des Inhalts zu Fehlern gerade in der Darstellung kommen. Darum würden wir jeden Besucher unserer Seite darum bitten uns diese Fehler über den Support mittels einer Nachricht mit Link zu melden. Vielen Dank!

Stand der Informationen: August 201& - Wichtiger Hinweis: Da die Inhalte maschinell von Wikipedia übernommen wurden, ist eine manuelle Überprüfung nicht möglich. Somit garantiert LinkFang.de nicht die Richtigkeit und Aktualität der übernommenen Inhalte. Sollten die Informationen mittlerweile fehlerhaft sein, bitten wir Sie darum uns per Support oder E-Mail zu kontaktieren. Wir werden uns dann innerhalb von spätestens 10 Tagen um Ihr Anliegen kümmern. Auch ohne Anliegen erfolgt mindestens alle drei Monate ein Update der gesamten Inhalte.