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Klassisches Runge-Kutta-Verfahren


Das klassische Runge-Kutta-Verfahren (nach Carl Runge und Martin Wilhelm Kutta) ist ein spezielles explizites 4-stufiges Runge-Kutta-Verfahren zur numerischen Lösung von Anfangswertproblemen (Gewöhnliche Differentialgleichungen). Eine abkürzende Bezeichnung dieses Verfahrens lautet RK4. Runge hat als erster (1895) ein mehrstufiges Verfahren angegeben und Kutta die allgemeine Form expliziter s-stufiger Verfahren.

Das klassische Runge-Kutta-Verfahren verwendet – wie die weitaus meisten numerischen Lösungsverfahren für Differentialgleichungen – den Ansatz, Ableitungen (Differentialquotienten) durch Differenzenquotienten zu approximieren. Die dabei bei nichtlinearen Funktionen notwendigerweise auftretenden Fehler (es werden sämtliche höheren Glieder der Taylor-Entwicklung vernachlässigt) können durch geeignete Kombinationen verschiedener Differenzquotienten reduziert werden. Das klassische Runge-Kutta-Verfahren ist eine solche Kombination, die Diskretisierungsfehler bis zur dritten Ableitung kompensiert.

Details

Sei

[math] y'(t) = f\left(t, y(t)\right), \quad y(t_0) = y_0, \quad y \colon \R \to \R^d [/math]

ein Anfangsproblem 1. Ordnung.

Mit der Schrittweite [math]h[/math] besitzt das klassische Runge-Kutta-Verfahren zur Berechnung der Näherung [math]u_{i+1} \approx y(t_{i+1})[/math] die Verfahrensfunktion

[math]\Phi(t_i,u_i,h,f) = \frac{1}{6} k_1 + \frac{1}{3} k_2 + \frac{1}{3} k_3 + \frac{1}{6} k_4[/math]

mit

[math] \begin{align} k_1 &= f(t_i, u_i), \\ k_2 &= f(t_i + \frac{h}{2}, u_i + \frac{h}{2} k_1), \\ k_3 &= f(t_i + \frac{h}{2}, u_i + \frac{h}{2} k_2), \\ k_4 &= f(t_i + h, u_i + hk_3). \end{align} [/math]

Die Rekursionsgleichung zur Berechnung der Näherung lautet dann

[math] u_{i+1} = u_i + h \cdot \Phi(t_i,u_i,f,h) = u_i + h \cdot \frac{1}{6}\left(k_1+2 k_2+ 2 k_3 +k_4 \right), \quad i=0,1,\dots[/math]

Das Verfahren benötigt in jedem Schritt der Rekursion vier Auswertungen der Funktion [math]f[/math]. Für mindestens viermal stetig differenzierbares [math]f[/math] zeigt eine Taylor-Entwicklung nach der Schrittweite [math]h[/math], dass es sich bei dem klassischen Runge-Kutta-Verfahren um ein Verfahren mit Konsistenzordnung 4 handelt.

Die charakteristischen Koeffizienten des Verfahrens können in einem Butcher-Tableau (siehe Artikel zu allgemeinen Runge-Kutta-Verfahren) zusammengefasst werden zu:

[math]\begin{array}{c|cccc} 0 & & & & \\ 1/2 & 1/2 & & & \\ 1/2 & 0 & 1/2 & & \\ 1 & 0 & 0 & 1 & \\ \hline & 1/6 & 1/3 & 1/3 & 1/6 \end{array}[/math]

Literatur

uk:Метод Рунге-Кутта


Kategorien: Numerische Mathematik

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Klassisches Runge-Kutta-Verfahren (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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