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Klammer (Zeichen)


( )
Interpunktionszeichen
Leerzeichen  
schmales Leerzeichen
Komma, Beistrich ,
Strichpunkt, Semikolon ;
Doppelpunkt :
Punkt .
Auslassungspunkte
Mittelpunkt ·
Aufzählungszeichen
Fragezeichen ?
Ausrufe‑, Ausruf‑, Rufzeichen !
Apostroph, Hochkomma
Anführungszeichen„ “  » « / « »
‚ ‘   › ‹ / ‹ ›
-Bindestrich; Trennstrich;
Ergänzungsstrich
Gedankenstrich; Bis-Strich
Doppelbindestrich
Schrägstriche /\
Klammern ( )

Eine Klammer ist ein Zeichen oder Symbol, das zur Beschreibung einer Klammerung verwendet wird.

In der Schriftsprache dient sie als Satzzeichen zur Gliederung der syntaktischen Form (siehe auch Parenthese). Eine großzügige Verwendung von Klammern gilt im deutschen Schriftsatz als schlechter Stil, Gedankenstriche oder die Auflösung von Schachtelsätzen werden meist bevorzugt. In anderen Sprachen, z. B. im Englischen, werden Klammern häufiger eingesetzt.

In der Mathematik drücken Klammern unter anderem einen Vorrang einer auszuführenden Rechenoperation vor anderen in der Rechenreihenfolge aus. Zum Beispiel ist das Ergebnis von [math]10-(6-1)[/math] gleich 5, da die Rechnung innerhalb der Klammer zuerst ausgeführt wird, [math]10-6-1[/math] ist dagegen gleich 3, da in diesem Fall von links nach rechts vorgegangen wird. In der höheren Mathematik dienen Klammern auch noch vielen anderen Zwecken, vor allem der Bezeichnung von Argumenten einer Funktion. Geschweifte, eckige und spitze Klammern haben in der Mathematik meist eine spezielle Bedeutung.

In ähnlicher Weise dienen Klammern auch in vielen Programmiersprachen zum Gruppieren von mehreren Arten von Programmelementen.

In den Naturwissenschaften dienen Klammern nicht nur mathematischen Rechenoperationen. In der Chemie dienen eckige Klammern zur Kennzeichnung von Konzentrationen. Zudem gibt es auch runde Klammern, wenn Naturkonstanten nicht genau gemessen werden können, aber abgeschätzt sind. Dazu wird an den Wert der Konstante in Klammern eine weitere Zahl angehängt – siehe dazu CODATA.

Klammern in der Grammatik und Typografie

Gebräuchlich sind mehrere Arten von Klammern als Satzzeichen, welche fast ausschließlich paarig (also als öffnende und schließende Klammer) verwendet werden; die englischen Bezeichnungen unterscheiden sich im britischen (BE) und amerikanischen (AE) Englisch:

()
Runde Klammern
(…) : (griechisch/engl.: parentheses [AE] oder round brackets [BE]): die üblichen Klammern, wie sie im Fließtext verwendet werden, um Satzteile abzusondern und umschließend zusammenzufassen. Unicode: U+0028 und U+0029
[]
Eckige Klammern
[…] : (engl.: brackets [AE] oder square brackets [BE]): Werden u. a. verwendet, wenn innerhalb eines Klammerausdrucks etwas geklammert werden soll oder um Auslassungen und Einfügungen in Zitaten kenntlich zu machen. In der Linguistik werden Phone in der Regel in eckige Klammern gesetzt. ; Beispiele: „[AE]“ und „[BE]“ in diesem Absatz, „[sic]“ und „[…]“. Unicode: U+005B und U+005D
Geschweifte/geschwungene Klammern (Akkoladen) 
{…} : auch Mengenklammern oder Nasenklammern (engl.: braces [AE] oder curly brackets [BE], fr.: accolades) genannt: Werden selten verwendet, um mehrere Zeilen zusammenzufassen. Sie haben beispielsweise in Wörterbüchern eine spezielle Bedeutung. Unicode: U+007B und U+007D
⟨⟩
Spitze Klammern 
⟨…⟩ (Unicode: U+27E8 und U+27E9) (bzw. siehe 〈…〉 bei CJK): Auch Winkelklammern (engl.: angle brackets) genannt. Sie werden nur selten verwendet. In Wörterbüchern haben sie eine spezielle Bedeutung, etwa wird die (etymologische) Herkunft eines Wortes in spitze Klammern gesetzt, seltener auch Stilangaben in Wörterbüchern. In der Linguistik werden Grapheme und Graphemketten in spitze Klammern gesetzt. Da diese Zeichen im ASCII-Zeichensatz fehlen, werden stattdessen oft die ASCII-Zeichen „Kleiner als“ < und „Größer als“ > (Unicode: U+003C und U+003E; HTML: &lt; und &gt;) benutzt.

Vor einer öffnenden und nach einer schließenden Klammer wird stets ein Leerzeichen gesetzt (außer es folgt – wie hier – ein Satzzeichen oder die Klammer kennzeichnet Alternativen wie in Kolleg(inn)en). Nach einer öffnenden und vor einer schließenden Klammer dagegen nicht. (Ein Satzpunkt steht vor einer schließenden Klammer nur dann, wenn ein kompletter Satz – wie hier – eingeklammert ist.)[1]

〈〉 《》 「」
3008/3009 300A/300B 300C/300D
『』 【】 〔〕
300E/300F 3010/3011 3014/3015
〖〗 〘〙 〚〛
3016/3017 3018/3019 301A/301B
CJK-Klammerungen
In den CJK-Schriften sind weitere Arten von Klammern gebräuchlich, der Unicode-Zeichenstandard enthält die zusätzlichen Kodierungen dafür.

Klammern im Internationalen Phonetischen Alphabet

Eckige Klammern

[]

Das Internationale Phonetische Alphabet (IPA) unterscheidet die Eckige Klammer links „[“ und die Eckige Klammer rechts „]“.

Im IPA geben die Zeichen „[“ und „]“ jeweils den Beginn bzw. das Ende der phonetischen Transkription an; sie besitzen die IPA-Nummern 901 bzw. 902 (HTML-Entity &#x5B; = &#91; und &#x5D; = &#93;).

Geschweifte/geschwungene Klammern

Die geschweiften/geschwungenen Klammern im Internationalen Phonetischen Alphabet zeigen den Anfang bzw. das Ende prosodischer Notation an; (HTML-entities &#x7B; = &#123; und &#x7D; = &#125;).

Klammern in der Mathematik

In der Mathematik werden Klammern ebenfalls meist paarig eingesetzt, wobei öffnende und schließende Klammer jeweils zueinander spiegelsymmetrisch sind. Es existieren jedoch Ausnahmen, etwa bei Intervallklammern und auch einzelne, nicht paarige Klammern werden bisweilen verwendet.

Gruppierungsklammern in Termen

Klammern gruppieren Teilterme und können damit die Rang- und Reihenfolge der Berechnung verändern oder dienen lediglich der optischen Zusammenfassung von Teiltermen. Hier werden üblicherweise runde Klammern verwendet:

[math]a + b \cdot c[/math] Da die Multiplikation Vorrang hat („Punktrechnung vor Strichrechnung“), bedeutet dies, dass zuerst [math]b\cdot c[/math] berechnet wird und [math]a[/math] zu dem Ergebnis addiert wird.
[math](a + b) \cdot c[/math] Durch die Klammern wird angezeigt, dass zuerst die Summe [math]a+b[/math] berechnet werden soll und diese dann mit [math]c[/math] multipliziert wird.

Bei komplexen Termen oder wenn spezielle Teilterme kenntlich gemacht werden sollen, können diese mit eckigen Klammern eingefasst werden.

Beispiel:

[math]\left[ (a+b)^2 - (a+c)^2 \right] ^ 2 - \left[ (a+b)^2 + (n^2-1) \right]^2[/math]

statt

[math]\left( (a+b)^2 - (a+c)^2 \right) ^ 2 - \left( (a+b)^2 + (n^2-1) \right)^2[/math]

Die typografische Größe einer Klammer wird meist ihrer hierarchischen Stellung angepasst, wie im letzten Beispiel.

Mengenklammern

Bei Mengenangaben werden üblicherweise geschweifte Klammern benutzt:

[math]M := \{ 1, 2^2, 3^3, 4^4,\ldots, n^n,\ldots\} \cup \{ x \mid x^2 \lt 2^x\} [/math]

Intervallklammern

Für Intervalle existieren verschiedene Notationen. Die beiden gebräuchlichsten sind im Falle eines offenen Intervalles [math]A=\{x\mid a\ltx\ltb\}[/math] und eines halboffenen Intervalles [math]B=\{x\mid a\leq x\ltb\}[/math]:

  • [math]A = \left] a;b \right[ \quad B = \left[ a;b \right[[/math]
  • [math]A = (a;b)\quad B = [a;b)[/math]

Statt eines Strichpunktes wird oft ein Komma zur Trennung der Intervallgrenzen verwendet, wenn eine Verwechslung mit dem Dezimalkomma ausgeschlossen ist.

Funktionsargumente

Normalerweise werden Argumente von Funktionen in runde Klammern gesetzt, gelegentlich auch in spitze, um eine bessere Unterscheidbarkeit zu gruppierenden Klammern zu ermöglichen (f ist eine Funktion, g eine Variable):

[math]f\left\langle g+h\right\rangle + g(h+j)[/math] statt [math]f(g+h)+g(h+j)[/math]

Anzutreffen ist eine solche Schreibweise vor allem dort, wo in komplex geklammerten Termen verschiedene Funktionen auftauchen, etwa in der Statistik[2]:

[math]\operatorname{cov}\left\langle X_1, X_2\right\rangle = E\left\langle(X_1-E\left\langle X_1\right\rangle)(X_2-E\left\langle X_2\right\rangle)\right\rangle[/math]

UND-Klammern

Wenn mehrere Aussagen vertikal in einer großen geschweiften Klammer gruppiert werden, bedeutet das, dass diese UND-verknüpft werden. Beispiel:

[math]\left\{ {\begin{matrix} x \ge 3 \\ x \le y \end{matrix}} \right\}[/math] ist gleichbedeutend mit [math](x \ge 3) \; \wedge \; (x \le y)[/math].

Spezielle Operatoren

Andere ebenfalls paarig verwendete Klammern sind spezielle Operatoren oder Funktionen:

  • [math]\left\lfloor x \right\rfloor[/math] (manchmal auch [math][x][/math]) bezeichnet die größte ganze Zahl kleiner oder gleich [math]x[/math] („Gaußklammer“)
  • [math]\textstyle \left\lceil x \right\rceil[/math] bezeichnet die kleinste ganze Zahl größer oder gleich [math]x[/math]
  • [math]\left| x \right|[/math] bezeichnet den Betrag von [math]x[/math]
  • [math]\langle x\rangle[/math] ist eine Notation für den Mittel- oder Erwartungswert einer Größe
  • [math]\textstyle \binom{n}{k}[/math] kann einen Binomialkoeffizienten bezeichnen (wenn [math]n[/math] und [math]k[/math] ganzzahlig sind und [math]n \ge k[/math]) oder eine Matrix, diese Matrix kann einen Vektor darstellen
  • [math]\textstyle s_{n,k} = \left[{n \atop k}\right][/math] bezeichnet die Stirling-Zahlen erster Art
  • [math]\textstyle S_{n,k} = \left\{\!{n \atop k}\!\right\}[/math] bezeichnet die Stirling-Zahlen zweiter Art
  • [math]\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \rangle[/math] ist ein Skalarprodukt oder Cantorsche Paarungsfunktion aus den Einzelvektoren [math]\mathbf{x}[/math] und [math]\mathbf{y}[/math]; davon abgeleitet ist die Bra-Ket-Notation.
  • [math][A, B]=A B - B A[/math] ist der Kommutator der zwei Operatoren [math]A[/math] und [math]B[/math]
  • [math][\hat A,\hat B]_+=\hat A \hat B + \hat B \hat A[/math], der Antikommutator zweier Operatoren im mathematischen Formalismus der Quantenmechanik. Eine alternative Schreibweise ist [math]\{\hat A,\hat B\}[/math].
  • [math]\textstyle \left \{ F,G \right \} = \sum_{i=1}^{n}{\left ( \frac{\partial F}{\partial q_i} \frac{\partial G}{\partial p_i} - \frac{\partial F}{\partial p_i} \frac{\partial G}{\partial q_i} \right )} [/math] ist die Poissonklammer, ein bilinearer Differentialoperator in der hamiltonschen Mechanik.
  • [math][F(x)]_a^b[/math] ist die Kurzschreibweise des Integrals [math]\textstyle \int_a^bf(x)\,\mathrm dx[/math] , siehe auch Integralrechnung.
  • [math](x)_n, (x)^n[/math] bezeichnet die Fallende bzw. Faktorielle. Aber Verwechslungsgefahr mit dem Pochhammer-Symbol, das je nach Autor auch als [math]x^{(n)}[/math], [math]\left(x_n\right)[/math] oder [math](x,n)[/math] dargestellt wird.

Ableitungen

Höhere Ableitungen werden oft statt mit Ableitungsstrichen mit einem Exponenten in runden Klammern gekennzeichnet, was die Lesbarkeit erhöht:

[math]f^{(4)}=f''''\,[/math]

Diese Notation wird ebenfalls verwendet, wenn die Anzahl der Ableitungen selbst über eine Variable oder einen Term ausgedrückt werden soll:

[math]f^{(n+1)} = f^{(n)}+f^{(n-1)}\,[/math]

Runde Klammern in statistischen Tabellen

Nach DIN 55301 (Gestaltung statistischer Tabellen) stehen runde Klammern, die eine Wertangabe (Zahl) in einem Tabellenfach umschließen, für „Aussagewert eingeschränkt, da die Zahl statistisch unsicher ist“ als wertergänzende Zeichen, auch Qualitätsanzeigern (im Gegensatz zu wertersetzenden Zeichen), besonders in Tabellen der amtlichen Statistik.[3]

Klammern in Programmiersprachen

Klammern haben in verschiedenen Programmiersprachen unterschiedliche Bedeutungen. Bestimmte Bedeutungen sind jedoch relativ weit verbreitet:

Runde Klammern:

  • Festlegung der Berechnungsreihenfolge in Termen (wie in der Mathematik)
  • Funktionsargumente
  • Typumwandlungs-Operator (z. B. in C und C++)
  • Index-Zugriff auf Arrays (z. B. in BASIC)
  • Listenbildung (z. B. in LISP und verwandten Sprachen)
  • Kommentarbegrenzungen (z. B. in Forth)
  • doppelte runde Klammern werden vom gcc für Attribute benutzt.

Eckige Klammern:

  • Index-Zugriff auf Arrays (z. B. in C und verwandten Sprachen)
  • Listenoperationen (z. B. in Python, Logo und einigen anderen)
  • Syntaktisches Element zum Einleiten eines Lambda-Ausdrucks; enthält ggf. die Catch-Clause des Lambda-Ausdrucks (in C++11)
  • doppelte eckige Klammern werden in C++11 für Attribute benutzt.

Geschweifte Klammern (auch: „geschwungene Klammern“):

Spitze Klammern (ausschließlich die ASCII-Zeichen < und >):

Klammern als grafische Elemente

:-)

Klammern, vor allem die runde Klammer, werden in Emoticons verwendet.

Quellen

  1. Duden: Klammern
  2. Stahel, Werner A.: Statistische Datenanalyse. Eine Einführung für Naturwissenschaftler. 5. Auflage. Wiesbaden: Vieweg 2008.
  3. Richtlinien zur Gestaltung statistischer Tabellen für die Verbundprogrammierung, Arbeitskreis Veröffentlichungen der Statistischen Landesämter, Wiesbaden 1997, 41 Seiten, hier: Seite 36.

Kategorien: Mathematisches Zeichen | Satzzeichen

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