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Kegelstumpf


Kegelstumpf ist in der Geometrie die Bezeichnung für einen speziellen Rotationskörper. Ein Kegelstumpf entsteht dadurch, dass man von einem geraden Kreiskegel parallel zur Grundfläche einen kleineren Kegel abschneidet. Dieser kleinere Kegel wird als Ergänzungskegel des Kegelstumpfes bezeichnet.

Die größere der beiden parallelen Kreisflächen ist die Grundfläche [math]G[/math], die kleinere die Deckfläche [math]D[/math]. Die dritte der begrenzenden Flächen wird als Mantelfläche [math]M[/math] bezeichnet, diese Bezeichnungen sind zugleich für die Flächeninhalte dieser Flächen üblich. Unter der Höhe [math]h[/math] des Kegelstumpfs versteht man den Abstand von Grund- und Deckfläche.

Nahe verwandt ist der Pyramidenstumpf.

Formeln

Mit [math]r[/math] werde der Radius der Deckfläche, mit [math]R[/math] der Radius der Grundfläche bezeichnet. [math]\varphi[/math] sei der Winkel zwischen einer Mantellinie und der Kegelachse.

Formeln zum Kegelstumpf
Volumen [math]V = \frac{h \cdot \pi}{3} \cdot (R^2 + R \cdot r + r^2)[/math]
Länge einer Mantellinie [math]m = \sqrt{(R-r)^2 + h^2}[/math]
Mantelfläche [math]M = (R+r) \cdot \pi \cdot m[/math]
Deckfläche [math]D = \pi \cdot r^2[/math]
Grundfläche [math]G = \pi \cdot R^2[/math]
Höhe des Kegelstumpfs [math]h=\frac{R-r}{\tan\varphi}[/math]

Beweise

Volumen

Für die Berechnung des Volumens des Kegelstumpfes werde die Höhe des Ergänzungskegels mit [math]k[/math] bezeichnet. Das Volumen des Kegelstumpfs ergibt sich dann als Differenz zwischen dem Volumen des ganzen Kreiskegels (Radius [math]R[/math] und Höhe [math]h+k[/math]) und dem Volumen des Ergänzungskegels (Radius [math]r[/math] und Höhe [math]k[/math]). Mit Hilfe des Strahlensatzes (Vierstreckensatz) folgt, dass

[math]\frac{h+k}{R}=\frac{k}{r}[/math].

Nennt man diesen Quotienten [math]\lambda[/math], so gilt

[math]h + k=\lambda \cdot R[/math] und
[math]k = \lambda \cdot r.[/math]

Die Höhe ist somit

[math]h =\lambda \cdot (R-r).[/math]

Das Volumen des großen Kegels ist

[math]V_R=\frac{R^2\cdot\pi \cdot(h+k)}{3}=\lambda \cdot R^3\cdot\frac{\pi}{3},[/math]

das Volumen des kleinen Kegels ist

[math]V_r=\frac{r^2\cdot\pi \cdot k}{3}=\lambda \cdot r^3 \cdot \frac{\pi}{3},[/math]

das Volumen des Kegelstumpfes ist die Differenz

[math]V=V_R-V_r=\lambda \left(R^3-r^3\right) \frac{\pi}{3}=\lambda (R-r) \left(R^2+R \cdot r+r^2\right) \frac{\pi}{3}=\frac{h \cdot \pi}{3} \left(R^2+R r+r^2\right).[/math]

Mantelfläche

Für die Berechnung der Mantelfläche des Kegelstumpfes werde die Mantellinie des abgeschnittenen kleinen Kegels mit [math]n[/math] bezeichnet. Laut Strahlensatz gilt

[math] \frac{R}{r}\, = \, \frac{n+m}{n} [/math],

also

[math]n=\frac{m \cdot r}{R - r}[/math].

Die Mantelfläche berechnet sich nun aus der Differenz der Mantelfläche [math]M_1[/math] des großen Kegels (Radius [math]R[/math] und Mantellinie [math]m+n[/math]) und der Mantelfläche [math]M_2[/math] des kleinen weggeschnittenen Kegels (Radius [math]r[/math] und Mantellinie [math]n[/math]):

[math]M \, = \, M_1 - M_2 [/math]
[math]\, = \, \pi \cdot R \cdot (m + n) - \pi \cdot r \cdot n [/math]
[math]\, = \, \pi \cdot m \cdot R + \pi \cdot n \cdot (R - r)[/math]
[math]\, = \, \pi \cdot m \cdot R + \pi \cdot \frac{m \cdot r}{R - r} \cdot (R - r)[/math]
[math]\, = \, \pi \cdot m \cdot R + \pi \cdot m \cdot r[/math]
[math]\, = \, \pi \cdot m \cdot ( R + r)[/math]

Oberfläche

Die Oberfläche berechnet sich aus der Summe aus Deckfläche, Grundfläche und Mantelfläche:

[math]D \, = \, \pi \cdot r^2[/math]
[math]G \, = \, \pi \cdot R^2[/math]
[math]M \, = \, \pi \cdot m \cdot ( r + R)[/math]
[math]O \, = \, D + G + M[/math]
[math]\, = \, \pi \cdot r^2 + \pi \cdot R^2 + \pi \cdot m \cdot ( r + R)[/math]

Literatur

  • Rolf Baumann: Geometrie für die 9./10. Klasse. Zentrische Streckung, Satz des Pythagoras, Kreis- und Körperberechnungen. 4. Auflage. Mentor-Verlag, München 2003, ISBN 3-580-63635-9, S. 95 ff.

Weblinks

 Commons: Kegelstumpf  – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
 Wiktionary: Kegelstumpf – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Kategorien: Raumgeometrie

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