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Kartesisches Blatt


Das kartesische Blatt (oder cartesische Blatt, folium cartesii) ist eine ebene algebraische Kurve 3. Ordnung, die nach dem französischen Mathematiker und Philosophen René Descartes benannt ist.

Definition

Sei [math]a \in \R[/math] eine reelle Zahl, dann ist das kartesische Blatt in kartesischen Koordinaten definiert durch die Gleichung

[math]x^3 + y^3 - 3 a x y = 0\,.[/math]

Andere Gleichungen des kartesischen Blattes

In Parameterdarstellung kann das kartesische Blatt durch die Gleichungen

[math]\begin{align} x = \frac{3 a t}{1 + t^3}\\ y = \frac{3 a t^2}{1 + t^3} \end{align}[/math]

beschrieben werden, wobei [math]a \in \R[/math] ist.

In Polarkoordinaten wird das kartesische Blatt durch die Gleichung

[math]r = \frac{3 a \cos\varphi \sin\varphi}{(\cos\varphi)^3 + (\sin\varphi)^3}[/math]

beschrieben.

Eigenschaften des kartesischen Blattes

Im Folgenden wird jeweils vorausgesetzt, dass die Koordinatenachsen so liegen wie in der Skizze.

  • Das kartesische Blatt ist achsensymmetrisch bezüglich der Winkelhalbierenden des 1. und 3. Quadranten (Gleichung y = x). Genau zwei Punkte der Kurve liegen auf der Symmetrieachse, nämlich der Ursprung und der Scheitel mit den Koordinaten [math]\left(\tfrac{3}{2}a\left|\tfrac{3}{2}a\right.\right)[/math].
  • Der Ursprung des Koordinatensystems ist Doppelpunkt der Kurve. Die x- bzw. die y-Achse sind die jeweiligen Tangenten im Ursprung.
  • Die Gerade mit der Gleichung [math]x + y + a = 0[/math] (in der Skizze blau gestrichelt) ist Asymptote der Kurve.
  • Für beide Kurvenzweige beträgt der Krümmungsradius im Ursprung [math]\tfrac{3}{2}a[/math].
  • Die Schleife des kartesischen Blattes schließt eine Fläche mit dem Inhalt [math]\tfrac{3}{2} a^2[/math] ein.
  • Die Fläche, die von der Kurve und der Asymptote begrenzt wird und sich ins Unendliche erstreckt, hat denselben Flächeninhalt [math]\tfrac{3}{2} a^2[/math].

Weblinks


Kategorien: Geometrische Kurve

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