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Jordan-Kurve


Jordan-Kurven (bzw. einfache Kurven) sind nach Camille Jordan benannte mathematische Kurven, die als eine homöomorphe Einbettung des Kreises [math]S_1[/math] oder des Intervalls [math]I_1=[0;1][/math] in einen topologischen Raum definiert sind. (Die homöomorphe Einbettung von [math]I_1[/math] nennt man offene Jordan-Kurve. Die Einbettung von [math]S_1[/math] wird geschlossene Jordan-Kurve genannt.)

Anschaulich heißt das, dass es sich um Kurven handelt, die stetig und schnittpunktfrei sind und einen Anfangs- und einen Endpunkt besitzen. Der Begriff der Jordan-Kurve wird auch zur Definition planarer Graphen verwendet.

Beispiele

Der Einheitskreis mit der Parametrisierung

[math]\varphi(t) = (\cos(t), \sin(t))[/math], [math]t\in[0, 2\pi][/math]

ist eine geschlossene Jordankurve.

Der Weg

[math]\varphi(t) = (\cos(t), \sin(t))[/math] mit [math]t \in [0, 3\pi][/math]

liefert auch den Einheitskreis, ist aber in dieser Parametrisierung keine Jordankurve, da z. B.

[math]\varphi(1) = \varphi(2\pi +1)[/math].

Das Einheitsquadrat ist eine Jordankurve, die aber mit keiner Parametrisierung glatt ist.

Die Strecke

[math]\varphi(t) = (t, 0)[/math] mit [math]t \in [0, 1][/math]

ist eine (offene) Jordankurve.

Siehe auch

Literatur

Weblinks


Kategorien: Geometrische Topologie | Analysis

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