Jacobi-Matrix - LinkFang.de





Jacobi-Matrix


Dieser Artikel beschäftigt sich mit Jacobi-Matrizen in der Analysis; zu Jacobi-Matrizen in der Operatortheorie siehe Jacobi-Operator.

Die Jacobi-Matrix (benannt nach Carl Gustav Jacob Jacobi; auch Funktionalmatrix, Ableitungsmatrix oder Jacobische genannt) einer differenzierbaren Funktion [math]f\colon {\mathbb{R}^n} \to {\mathbb{R}^m} \,\![/math] ist die [math]m \times n[/math]-Matrix sämtlicher erster partieller Ableitungen. Im Falle der totalen Differenzierbarkeit bildet sie die Matrix-Darstellung der als lineare Abbildung aufgefassten ersten Ableitung der Funktion [math]f[/math] bezüglich der Standardbasen des [math]\R^n[/math] und des [math]\R^m[/math]. Sie wird mit [math]J_f[/math], [math]Df[/math], [math]\textstyle\frac{\partial f}{\partial x}[/math] oder [math]\textstyle\frac{\partial(f_1, \ldots, f_m)}{\partial(x_1, \ldots, x_n)}[/math] bezeichnet.

Genutzt wird die Jacobi-Matrix zum Beispiel zur annähernden Berechnung (Approximation) oder Minimierung mehrdimensionaler Funktionen in der Mathematik.

Definition

Sei [math]f : U \subset \R^n \to \R^m[/math] eine Funktion, deren partielle Ableitungen alle existieren, mit den Komponentenfunktionen [math]f := (f_1 , \ldots, f_m)[/math]. Außerdem werden mit [math]x := (x_1, \dots, x_n)[/math] die Koordinaten im Urbildraum [math]\R^n[/math] bezeichnet. Für [math]a \in U[/math] ist die Jacobi-Matrix im Punkt [math]a[/math] dann durch

[math]J_f(a) := \frac{\partial {f}}{\partial {x}}(a) := \frac{\partial(f_1, \ldots, f_m)}{\partial(x_1, \ldots, x_n)}(a) := \left(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(a)\right)_{i=1,\ldots,m;\ j=1,\ldots,n}[/math],

beziehungsweise ausführlich durch

[math]J_f(a) := \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1}(a) & \frac{\partial f_1}{\partial x_2}(a) & \ldots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}(a) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}(a) & \frac{\partial f_m}{\partial x_2}(a) & \ldots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} (a) \end{pmatrix}[/math]

definiert.

In den Zeilen der Jacobi-Matrix stehen also gerade die (transponierten) Gradienten der Komponentenfunktionen von [math]f[/math].

Beispiel

Die Funktion [math] f: \R^3 \to \R^2 [/math] sei gegeben durch

[math] f(x,y,z) = \binom{x^2 + y^2 + z \cdot \sin x}{z^2 + z \cdot \sin y} [/math]

Dann ist

[math]\begin{align} \frac{\partial}{\partial x} f(x,y,z) &= \binom{2x + z \cdot \cos x}{0} \\ \frac{\partial}{\partial y} f(x,y,z) &= \binom{2y}{z \cdot \cos y} \\ \frac{\partial}{\partial z} f(x,y,z) &= \binom{\sin x}{2z + \sin y} \end{align}[/math]

und damit die Jacobi-Matrix

[math] J_f(x,y,z) = \left ( \begin{array}{ccc} 2x + z \!\cdot\! \cos x & 2y & \sin x \\ 0 &\; z \cdot \cos y \; & \;2z + \sin y \end{array} \right ) [/math]

Anwendungen

  • Ist die Funktion [math]f : U \subset \R^n \to \R^m[/math] total differenzierbar, so ist die Jacobi-Matrix eine Koordinatendarstellung der Ableitung von [math]f[/math].
  • Für [math]m = 1[/math] entspricht die Jacobi-Matrix dem transponierten Gradienten von [math]f[/math]. Manchmal wird der Gradient auch als Zeilenvektor definiert. In diesem Fall sind Gradient und Jacobi-Matrix gleich.
  • Die Jacobi-Matrix kann, wenn man sie für einen Punkt [math]p = (p_1,\dots,p_n)[/math] ausrechnet, zur Näherung der Funktionswerte von [math]f[/math] in der Nähe von [math]p[/math] verwendet werden:
    [math] f(x_1,\dots,x_n) \approx f(p_1,\dots,p_n) + J_f(p_1,\dots,p_n) \begin{pmatrix}x_1 - p_1 \\ \vdots \\ x_n - p_n \end{pmatrix}. [/math]
    Diese affine Abbildung entspricht der Taylor-Approximation erster Ordnung (Linearisierung).

Determinante der Jacobi-Matrix

Hauptartikel: Jacobi-Determinante

Sei [math]m=n[/math], es wird also eine differenzierbare Funktion [math]f \colon U \subset \R^n \to \R^n[/math] betrachtet. Dann ist deren Jacobi-Matrix [math]J_f(a)[/math] am Punkt [math]a \in U[/math] eine quadratische [math]n \times n[/math]-Matrix. In diesem Fall kann man die Determinante der Jacobi-Matrix [math]\det(J_f(a))[/math] bestimmen. Die Determinante der Jacobi-Matrix wird Jacobi-Determinante oder Funktionaldeterminante genannt. Ist die Jacobi-Determinante im Punkt [math]a[/math] ungleich null, so ist die Funktion [math]f[/math] in einer Umgebung von [math]a[/math] invertierbar. Dies besagt der Satz von der Umkehrabbildung. Außerdem spielt die Jacobi-Determinante eine wichtige Rolle beim Transformationssatz für Integrale. Ist [math]m \neq n[/math], so kann man natürlich keine Determinante der [math]m \times n[/math]-Jacobi-Matrix bilden. Jedoch gibt es in diesem Fall ein ähnliches Konzept. Dieses wird Gramsche Determinante genannt.

Jacobi-Matrix einer holomorphen Funktion

Neben Funktionen [math]f : U \subset \R^n \to \R^m[/math] kann man auch Funktionen [math]h : V \subset \C^n \to \C^m[/math] auf (komplexe) Differenzierbarkeit untersuchen. Funktionen, die komplex differenzierbar sind, werden holomorph genannt, denn sie haben andere Eigenschaften als die (reell) differenzierbaren Funktionen. Auch für die holomorphe Funktion [math]h := (h_1, \ldots , h_m) : V \subset \C^n \to \C^m[/math] kann man Jacobi-Matrizen bestimmen. Hier gibt es zwei unterschiedliche Varianten. Zum einen eine [math]m \times n[/math] mit komplexwertigen Einträgen und zum anderen eine [math]2m \times 2n [/math]-Matrix mit reellwertigen Einträgen. Die [math]m \times n[/math]-Jacobi-Matrix [math]J_h^\C(z)[/math] am Punkt [math]z := (z_1, \ldots , z_n) \in V \subset \C^n[/math] ist durch

[math]J_h^\C(z) := \begin{pmatrix} \frac{\partial h_1(z)}{\partial z_1} & \cdots & \frac{\partial h_1(z)}{\partial z_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial h_m(z)}{\partial z_1} & \cdots & \frac{\partial h_m(z)}{\partial z_n} \end{pmatrix}[/math]

definiert.

Jede komplexwertige Funktion kann in zwei reellwertige Funktionen aufgespalten werden. Das heißt, es existieren Funktionen [math]u,v \colon \R^n \to \R^m[/math], sodass [math]h = u + i v[/math] gilt. Die Funktionen [math]u[/math] und [math]v[/math] kann man nun wieder gewöhnlich partiell differenzieren und in einer Matrix anordnen. Seien [math]z := (z_1, \ldots , z_n)[/math] die Koordinaten in [math]\C^n[/math] und setze [math]z_j := x_j + i y_j[/math] für alle [math]j[/math]. Die [math]2m \times 2n [/math]-Jacobi-Matrix [math]J_h^\R(z)[/math] der holomorphen Funktion [math]h[/math] am Punkt [math]z \in V[/math] ist dann definiert durch

[math]J_h^\R(z) := \begin{pmatrix} \frac{\partial u_1 (z)}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial u_1 (z)}{\partial x_n} & \frac{\partial u_1 (z)}{\partial y_1} & \cdots & \frac{\partial u_1(z)}{\partial y_n}\\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial u_m (z)}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial u_m (z)}{\partial x_n} & \frac{\partial u_m (z)}{\partial y_1} & \cdots & \frac{\partial u_m(z)}{\partial y_n}\\ \frac{\partial v_1 (z)}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial v_1 (z)}{\partial x_n} & \frac{\partial v_1 (z)}{\partial y_1} & \cdots & \frac{\partial v_1(z)}{\partial y_n}\\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial v_m (z)}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial v_m (z)}{\partial x_n} & \frac{\partial v_m (z)}{\partial y_1} & \cdots & \frac{\partial v_m(z)}{\partial y_n} \end{pmatrix}[/math].

Gilt bei den Jacobi-Matrizen für holomorphe Funktionen [math]m = n[/math], so kann man natürlich die Determinanten der beiden Matrizen betrachten. Diese beiden Determinanten stehen in Beziehung zueinander. Es gilt nämlich

[math]\det\left(J_h^\R(z)\right) = \left|\det(J_h^\C(z))\right|^2[/math].

Siehe auch

Literatur


Kategorien: Analysis

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Jacobi-Matrix (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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