Isometrische Isomorphie - LinkFang.de





Isometrische Isomorphie


Isometrische Isomorphie beschreibt in der Funktionalanalysis einen Zusammenhang zwischen zwei unterschiedlichen Räumen, die geometrisch identisch sind.

Definition

Zwei normierte Räume [math](X,\Vert \cdot\Vert_X)[/math] und [math](Y,\Vert \cdot\Vert_Y)[/math] sind isometrisch isomorph, wenn zwischen ihnen ein Vektorraumisomorphismus [math]T: X \rightarrow Y[/math] existiert, der gleichzeitig eine Isometrie ist, also [math]\Vert T x \Vert_Y = \Vert x \Vert_X[/math] erfüllt. Man schreibt dann [math]X \cong Y[/math].

Dies bedeutet, dass man die Räume eineindeutig miteinander identifizieren und Längenmessungen im einen auf den anderen übertragen kann. Der Operator [math]T[/math] übernimmt die Identifizierung von Elementen aus [math]X[/math] mit Elementen aus [math]Y.[/math] Die Isometrie von [math]T[/math] sichert die Normerhaltung bei diesem Wechsel. Offenbar ist die Umkehrung [math]T^{-1}[/math] wieder eine isometrische Isomorphie.

Beispiele

Literatur


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