Isolierter Punkt - LinkFang.de





Isolierter Punkt


In der Topologie ist ein Element [math]a[/math] einer Menge [math]X[/math] ein isolierter Punkt, wenn es eine Umgebung von [math]a[/math] gibt, in der (außer [math]a[/math]) keine weiteren Elemente von [math]X[/math] liegen.[1] Ein Punkt [math]a \in X[/math] ist also genau dann isoliert, wenn [math]a[/math] kein Häufungspunkt von [math]X[/math] ist.[2]

Ist jeder Punkt eines topologischen Raumes isoliert, nennt man den Raum diskret.

Beispiele

Die folgenden Beispiele benutzen Teilmengen der reellen Zahlen mit der üblichen Topologie.

  • In der Menge [math]\{0\}\cup [1, 2][/math] ist [math]0[/math] ein isolierter Punkt.
  • In der Menge [math]\{0\}\cup \{1, \tfrac 12, \tfrac 13, \dots\}[/math] ist jedes der Elemente [math]\tfrac 1n[/math] ein isolierter Punkt, aber [math]0[/math] ist kein isolierter Punkt.
  • In der Menge der natürlichen Zahlen [math]\N=\{0, 1, 2, \dots\}[/math] sind alle Elemente isolierte Punkte. Es handelt sich also um einen diskreten Raum.

Einzelnachweise

  1. Johann Cigler, Hans-Christian Reichel: Topologie. Eine Grundvorlesung (= B.I-Hochschultaschenbücher. 121). Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1978, ISBN 3-411-00121-6, § 2.3 Definition.
  2. Oliver Deiser: Reelle Zahlen. Das klassische Kontinuum und die natürlichen Folgen. 2., korrigierte und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2008, ISBN 978-3-540-79375-5, Kap. 2.1, Definition auf Seite 299.

Kategorien: Mengentheoretische Topologie

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