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Integration durch Substitution


Die Integration durch Substitution oder Substitutionsregel ist eine wichtige Methode in der Integralrechnung, um Stammfunktionen und bestimmte Integrale zu berechnen. Durch Einführung einer neuen Integrationsvariablen wird ein Teil des Integranden ersetzt, um das Integral zu vereinfachen und so letztlich auf ein bekanntes oder einfacher handhabbares Integral zurückzuführen.

Die Kettenregel aus der Differentialrechnung ist die Grundlage der Substitutionsregel. Ihr Äquivalent für Integrale über mehrdimensionale Funktionen ist der Transformationssatz, der allerdings eine bijektive Substitutionsfunktion voraussetzt.

Aussage der Substitutionsregel

Sei [math]I[/math] ein reelles Intervall, [math]f \colon I \to \mathbb{R}[/math] eine stetige Funktion und [math]\varphi \colon [a,b] \to I[/math] stetig differenzierbar. Dann ist

[math]\int_{a}^{b} f(\varphi(t)) \cdot \varphi'(t)\,\mathrm{d}t = \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x)\,\mathrm{d}x .[/math]

Beweis

Sei [math]F[/math] eine Stammfunktion von [math]f[/math]. Nach der Kettenregel gilt für die Ableitung der zusammengesetzten Funktion [math]F \circ \varphi[/math]

[math](F \circ \varphi)'(t) = F'(\varphi(t))\varphi'(t) = f(\varphi(t))\varphi'(t).[/math]

Durch zweimalige Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung erhält man damit die Substitutionsregel:

[math]\begin{align} \int_a^b f(\varphi(t))\varphi'(t)\,\mathrm dt & = (F \circ \varphi)(b) - (F \circ \varphi)(a) \\ & = F(\varphi(b)) - F(\varphi(a)) \\ & = \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x)\,\mathrm dx \end{align}[/math]

Anwendung

Bei der Anwendung der Substitutionsregel von links nach rechts soll im ursprünglichen Term des Integranden ein Teilterm, nämlich der frei zu bestimmende Term von [math]\varphi[/math], zur Integrationsvariablen vereinfacht werden. Dazu multipliziert man den Term des Integranden mit dem Term von [math]{1 \over \varphi'}[/math] und ersetzt anschließend die Integrationsvariable überall mit dem Term von [math]\varphi^{-1}[/math]. Die Integrationsgrenzen [math]a[/math] und [math]b[/math] ersetzt man schließlich durch [math]\varphi(a)[/math] bzw. [math]\varphi(b)[/math].

Man bildet also

[math]\begin{align} \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(\varphi(\varphi^{-1}(t)))\frac{\varphi'(\varphi^{-1}(t))}{\varphi'(\varphi^{-1}(t))}\,\mathrm dt = \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(t)\,\mathrm dt \end{align}[/math]

Ob man dabei zu einer neuen Integrationsvariablen übergeht (z. B. von [math]x[/math] zu [math]t[/math]) oder die ursprüngliche beibehält, ist formal gleichgültig. Ebenso ist es nicht zwingend erforderlich, die Umformungen und Ersetzungen unter Einbeziehung der Differentiale (z. B. [math]dx[/math] und [math]dt[/math]) vorzunehmen.

Hat man die Stammfunktion [math]F[/math] gefunden, kann man sie direkt mit den Grenzen [math]\varphi(a)[/math] und [math]\varphi(b)[/math] auswerten oder die Stammfunktion zum ursprünglichen Integranden als [math]F \circ \varphi[/math] bilden.

Wendet man die Substitutionsregel dagegen von rechts nach links an, so soll die Integrationsvariable durch den Term von [math]\varphi[/math] ersetzt werden. Man ersetzt also die Integrationsvariable entsprechend überall und multipliziert anschließend mit dem Term von [math]\varphi'[/math]. Zuletzt wendet man [math]\varphi^{-1}[/math] auf die Integrationsgrenzen an.

Substitution eines bestimmten Integrals

Beispiel 1

Berechnung des Integrals

[math]\int_{0}^a \sin(2x) \,\mathrm{d}x[/math]

für eine beliebige reelle Zahl [math]a \gt 0[/math]: Durch die Substitution [math]\varphi(x) = 2x = t[/math] erhält man [math]\varphi'(x)\mathrm{d}x = \mathrm{d}t \Leftrightarrow 2\,\mathrm{d}x = \mathrm{d}t \Leftrightarrow \mathrm{d}x = \tfrac12 {\mathrm{d}t}[/math] und:

[math] \int_{0}^a \sin(2x) \,\mathrm{d}x = \int_{\varphi(0)}^{\varphi(a)} \sin(t)\,\frac12 {\mathrm{d}t} = \int_{0}^{2a} \sin(t) \,\frac12 {\mathrm{d}t} = \frac{1}{2} \int_{0}^{2a} \sin(t) \,\mathrm{d}t[/math]
[math]= \frac{1}{2} [ -\cos(t) ]_0^{2a} = \frac{1}{2} (-\cos(2a)+\cos(0)) = \frac{1}{2}(1 - \cos(2a))[/math].

Beispiel 2

Berechnung des Integrals

[math]\int_{0}^2 x \cos\left(x^2+1\right) \,\mathrm{d}x[/math]:

Durch die Substitution [math]t = \varphi(x) = x^2 + 1[/math] erhält man [math]\mathrm{d}t = 2x\,\mathrm{d}x[/math] bzw. [math]x\,\mathrm{d}x = \tfrac 12 \mathrm dt[/math] und damit

[math]\int_{0}^2 x \cos\left(x^2+1\right) \,\mathrm{d}x = \frac{1}{2} \int_{1}^{5}\cos(t)\,\mathrm{d}t = \frac{1}{2}\left(\sin(5)-\sin(1)\right).[/math]

Es wird also [math]x^2 + 1[/math] durch [math]t[/math] ersetzt und [math]x \mathrm dx[/math] durch [math]\tfrac 12 \mathrm dt[/math]. Die untere Grenze des Integrals [math]x = 0[/math] wird dabei in [math]t = 0^2 + 1 = 1[/math] umgewandelt und die obere Grenze [math]x = 2[/math] in [math]t = 2^2 + 1 = 5[/math].

Beispiel 3

Berechnung des Integrals

[math]\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\, \mathrm{d}x[/math]

Man substituiert [math]x = \sin(t) \Leftrightarrow t = \arcsin(x)[/math]. Daraus ergibt sich [math]\mathrm{d}x = \cos(t)\, \mathrm{d}t[/math]. Mit [math] \sqrt{1-\sin^2(t)} = |\cos(t)|[/math] erhält man

[math]\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\, \mathrm{d}x = \int_0^\frac{\pi}{2} \sqrt{1-\sin^2(t)} \cos(t)\, \mathrm{d}t = \int_0^\frac{\pi}{2} \cos^2(t)\, \mathrm{d}t\,.[/math]

Das Ergebnis kann mit Partieller Integration oder mit der trigonometrischen Formel

[math]\cos^2(t) = \left(\cos t\right)^2 = \frac{1+\cos(2t)}{2}[/math]

und einer weiteren Substitution berechnet werden.

Substitution eines unbestimmten Integrals

Voraussetzungen und Vorgehen

Unter den obigen Voraussetzungen gilt

[math]\int f(x)\,\mathrm{d}x = \int f(\varphi(t)) \varphi'(t)\,\mathrm{d}t .[/math]

Nachdem man eine Stammfunktion der substituierten Funktion bestimmt hat, macht man die Substitution rückgängig und erhält eine Stammfunktion der ursprünglichen Funktion.

Beispiel 1

Mit der Substitution [math]x = t-1, t=x+1, \mathrm{d}x=\mathrm{d}t[/math] erhält man

[math]\int \frac{1}{x^2+2x+2}\,\mathrm{d}x = \int \frac{1}{1+t^2}\,\mathrm{d}t = \arctan(t) + C = \arctan(x+1) + C[/math]

Beispiel 2

Mit der Substitution [math]t=x^2 , \mathrm{d}t = 2x\,\mathrm{d}x[/math] erhält man

[math]\int x\, \cos\left(x^2\right)\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2} \int 2x \cos\left(x^2\right) \, \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \int \cos(t)\,\mathrm{d}t = \frac{1}{2} \left(\sin(t) + C'\right) = \frac{1}{2}\sin\left(x^2\right) + C[/math]

Man beachte, dass die Substitution nur für [math]x\geq 0[/math] bzw. nur für [math]x\leq 0[/math] streng monoton ist.

Spezialfälle der Substitution

Logarithmische Integration

Integrale mit der speziellen Form Zähler des Integranden ist Ableitung des Nenners können sehr einfach mit Hilfe der logarithmischen Integration gelöst werden, was einen Spezialfall der Substitutionsmethode darstellt:

[math] \int \frac{f'(x)}{f(x)} \mathrm{d}x = \ln|f(x)| + C \quad \left (f(x) \neq 0 \right)[/math]

Eulersche Substitution

Nach einem Satz von Bernoulli lassen sich alle Integrale des Typs [math]\int\sqrt{ax^2+bx+c}\;\mathrm{d}x[/math] und [math]\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{ax^2+bx+c}}[/math] elementar integrieren.

Beispiel: [math]\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2+1}}[/math]

Durch die Substitution [math]t-x = \sqrt{x^2+1} [/math]   also   [math]t^2-2tx=1[/math] ,   [math]x=\frac{t}2 - \frac1{2t}[/math],   [math]t-x=\frac{t}2 + \frac1{2t}[/math]   und   [math]\mathrm{d}x=\left(\frac12 + \frac1{2t^2}\right)\mathrm{d}t[/math] ergibt sich:

[math]\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2+1}} = \int\frac{\frac12 + \frac1{2t^2}}{\frac{t}2 + \frac1{2t}}\mathrm{d}t = \int\frac{\mathrm{d}t}{t} = \ln t = \ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)[/math]

Lineare Substitution

Integrale mit linearen Verkettungen können wie folgt berechnet werden:

[math]\int f(mx + n) \,\mathrm{d}x = \frac{1}{m}F(mx + n) + C \qquad \left( \forall~m \neq 0 \right)[/math]

Für das bestimmte Integral gilt entsprechend:

[math]\int_a^b f(mx + n) \,\mathrm{d}x = \frac{1}{m}\lbrack F(mx+n) \rbrack_{a}^{b} \qquad \left( \forall~m \neq 0 \right)[/math]

Siehe auch

Literatur

  • Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1, 5. Auflage, B. G. Teubner, Stuttgart 1988, ISBN 3-519-42221-2, S. 464
  • Konrad Königsberger: Analysis 1, Springer, Berlin 1992, ISBN 3-540-55116-6, S. 200–201

Weblinks


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