Integralsinus - LinkFang.de





Integralsinus


Der Integralsinus ist ein Begriff aus der Mathematik und bezeichnet eine durch ein Integral gegebene Funktion. Joseph Liouville (1809–1882) bewies, dass der Kardinalsinus nicht elementar integrierbar ist.[1][2][3][4]

Der Integralsinus ist definiert als das Integral der Sinc-Funktion:

[math]\operatorname{Si}(x):=\int_0^x \operatorname{si}(t)\, \mathrm{d}t =\int_0^x \frac{\sin(t)}{t}\, \mathrm{d}t[/math].[5]

Eigenschaften

  • Im Grenzübergang [math]\lim_{x\to\infty} \mathrm{Si}\left(x\right)[/math] kann das Integral ausgewertet werden. Es gilt:
[math]\lim_{x\to \infty} \mathrm{Si}\left(x\right)=\frac{\pi}{2}[/math]
  • Analog der komplexen Eulerformel-Definition des Sinus:
[math]\sin x = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left( \mathrm{e}^{\mathrm{i} x} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}x} \right)[/math]
gilt mit der Integralexponentialfunktion [math]\mathrm{Ei}[/math]
[math]\mathrm{Si}(x) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left( \mathrm{Ei}(\mathrm{i}\ x) - \mathrm{Ei}(-\mathrm{i}\ x) \right) + \frac{\pi}{2} [/math]
[math]\mathrm{Si}\left(x\right)=x-\frac{x^3}{3!\cdot3}+\frac{x^5}{5!\cdot5}-\frac{x^7}{7! \cdot7}+\cdots \quad =\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{k}}{(2k+1)!\cdot(2k+1)}x^{2k+1}[/math]

Eng verwandt ist der Integralcosinus Ci(x), der zusammen mit dem Integralsinus Si(x) in parametrischer Darstellung eine Klothoide bildet.

Spezielle Werte

[math]\mathrm{Si}(\pi) = 1{,}851937...[/math] Wilbraham–Gibbs-Konstante[6]

Verwandte Grenzwerte

[math]\lim_{x\to \infty} \int_0^x \frac{\sin^2(t)}{t^2} \, dt = \frac{\pi}{2}[/math]

 

[math]\lim_{x\to \infty} \int_0^x \frac{\sin^3(t)}{t^3} \, dt = \frac{3}{8}\pi[/math]

 

[math]\lim_{x\to \infty} \int_0^x \frac{\sin^4(t)}{t^4} \, dt = \frac{\pi}{3}[/math]

Siehe auch

Literatur

  • Horst Nasert: Über den allgemeinen Integralsinus und Integralkosinus.
  • Erwin O. Kreyszig (Referent: Alwin [Oswald] Walther; Korreferent: Curt [Otto Walther] Schmieden): Über den allgemeinen Integralsinus [math]\mathrm{Si}(z,a)[/math]. Auszug aus Inauguraldissertation, Institut für Praktische Mathematik der Technischen Hochschule Darmstadt.

Weblinks

Einzelnachweise

  1. J. Liouville: „Mémoire. Sur la classification des Transcendantes et sur l’impossibilité d’exprimer les racines des certaines équations en fonction finie explicite des coefficients. Part 1“ . Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 2, 56–105, 1837.
  2. J. Liouville: „Suite du Mémoire. Sur la classification des Transcendantes et sur l’impossibilité d’exprimer les racines des certaines équations en fonction finie explicite des coefficients. Part 2“ . Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 3, 523–547, 1838.
  3. J. Liouville: „Mémoire. Sur l’integration d’une classe d’Équations différentielles du second ordre en quantités finies explicites“ . Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 4, 423–456, 1839.
  4. Joseph (Fels) Ritt: Integration in Finite Terms: Liouville’s Theory of Elementary Methods. Columbia University Press, New York 1948.
  5. Siegfried (Johannes) Gottwald: Handbuch der Mathematik. Ein Ratgeber für Schule und Praxis, zum Selbststudium besonders geeignet. Buch und Zeit Verlagsgesellschaft, Köln 1986. ISBN 3-8166-0015-8. S. 517 (704 S.).
  6. Eric W. Weisstein: Wilbraham-Gibbs Constant . In: MathWorld (englisch).
it:Funzioni integrali trigonometrici

Kategorien: Analytische Funktion

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Integralsinus (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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