Hypergeometrische Differentialgleichung - LinkFang.de





Hypergeometrische Differentialgleichung


Die hypergeometrische Differentialgleichung ist eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung der Form

[math]x(x - 1)y'' + \left((\alpha + \beta + 1)x - \gamma\right)y' + \alpha\beta y = 0,\ \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}\ .[/math]

Ist [math]-\gamma \notin \mathbb{N}_{0}[/math], so erhält man mit einem Potenzreihenansatz [math]y(x) = \sum^{\infty}_{n=0} a_{n}x^{n}[/math] die Rekursionsformel für die Lösung:

[math]a_{n+1}=\frac{(\alpha + n)(\beta + n)}{(1 + n)(\gamma + n)}a_{n}[/math]

Setzt man beispielsweise [math]a_{0} = 1[/math], so erhält man als Lösung die hypergeometrische Funktion

[math]y(x) = F(\alpha, \beta, \gamma, x) = 1 + \frac{\alpha\beta}{1!\gamma}x + \frac{\alpha(\alpha + 1)\beta(\beta + 1)}{2!\gamma(\gamma + 1)}x^2 + \cdots[/math]

Diese Potenzreihe besitzt den Konvergenzradius [math]R = 1[/math].

Mit der hypergeometrischen Funktion [math]F(\alpha, \beta, \gamma, z)[/math] können viele andere Funktionen dargestellt werden:

 [math]\alpha[/math]   [math]\beta[/math]   [math]\gamma[/math]   [math]z[/math]   [math]F(\alpha, \beta, \gamma, z)[/math] 
[math]1[/math] [math]\beta[/math] [math]\beta[/math] [math]x[/math] [math]1/(1-x)[/math]
[math]-p[/math] [math]1[/math] [math]1[/math] [math]-x[/math] [math](1+x)^p[/math]
[math]\frac{1}{2}[/math] [math]\frac{1}{2}[/math] [math]\frac{3}{2}[/math] [math]x^2[/math] [math]\frac{\arcsin(x)}{x}[/math]
[math]1[/math] [math]1[/math] [math]2[/math] [math]x[/math] [math]\ln\left(1-x\right)[/math]
[math]1[/math] [math]\infty[/math](*) [math]1[/math] [math]\frac{x}{\beta}[/math] [math]\exp{(x)}[/math]
[math]n+1[/math] [math]-n[/math] [math]1[/math] [math]\frac{1-x}{2}[/math] [math]P_n\left(x\right)[/math](**)

(*)Es muss der Grenzwert gebildet werden.

(**)Das [math]n[/math]-te Legendre-Polynom, [math]n \in \mathbb{N}_0[/math].

Die hypergeometrische Differentialgleichung kann noch verallgemeinert werden zur heunschen Differentialgleichung.

Konfluente hypergeometrische Differentialgleichung

Diese Differentialgleichung besitzt die Form

[math]\ x u'' + (\beta - x)u' - \alpha u = 0\ .[/math]

Für [math]-\beta \notin \mathbb{N}_{0}[/math] wird die Differentialgleichung durch die kummersche Funktion, benannt nach Ernst Eduard Kummer,

[math]K(\alpha, \beta, x) = 1 + \frac{\alpha}{1!\beta}x+\frac{\alpha(\alpha + 1)}{2!\beta(\beta + 1)}x^2 + \cdots[/math]

gelöst.

Quellen


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Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Hypergeometrische Differentialgleichung (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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