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Hilbert-Kurve


In der Mathematik ist die Hilbert-Kurve eine stetige Kurve, die – durch Wiederholung ihres Konstruktionsverfahrens – jedem beliebigen Punkt einer quadratischen Fläche beliebig nahekommt und die Fläche vollständig ausfüllt. Die Hilbert-Kurve ist eine sogenannte raumfüllende oder FASS-Kurve. Sie wurde 1891 von dem deutschen Mathematiker David Hilbert entdeckt[1]. Die Möglichkeit, mit einer stetigen eindimensionalen Kurve ein zweidimensionales Gebiet komplett abdecken zu können, war den Mathematikern des neunzehnten Jahrhunderts neu (siehe auch Monsterkurve).

Die euklidische Länge der Kurve [math] H_n [/math] ist [math] l_n = 2^n - \frac{1}{2^n} [/math], d.h. wächst exponentiell mit [math] n [/math]. Ihre Hausdorff-Dimension ist aufgrund der Eigenschaft, eine raumfüllende Kurve zu sein, exakt 2.

Mit der Entwicklung von Parallelrechnern haben raumfüllende Kurven wie die Hilbert-Kurve eine Anwendungsmöglichkeit erhalten, indem man sie zur Bestimmung der Lastverteilung der einzelnen Prozessoren des Parallelrechners nutzt.

Auch in höheren Dimensionen lassen sich Hilbertkurven generieren.[2] Somit ist es möglich, mit einer stetigen eindimensionalen Kurve, einen z.B. dreidimensionalen Raum vollständig abzudecken. Die Faltung des Genoms ähnelt einer dreidimensionalen Hilbertkurve.[3]

Siehe auch

Weblinks

 Commons: Hilbert-Kurve  – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise

  1. D. Hilbert: Über die stetige Abbildung einer Linie auf ein Flächenstück. Mathematische Annalen 38 (1891), 459–460.
  2. Michael Trott: The Mathematica GuideBook for Programming. Springer 2004. (2.3.9 Hilbert Curves in Higher Dimensions, S. 93–97)
  3. Brandon Keim: The Human Genome in 3 Dimensions. Wired, 10. August 2009, abgerufen am 28. August 2013 (english).

Kategorien: Fraktale Geometrie

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Hilbert-Kurve (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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