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Hermitesche Sesquilinearform


Als Hermitesches Produkt, Hermitesche Sesquilinearform oder einfach Hermitesche Form (nach Charles Hermite) bezeichnet man in der linearen Algebra eine besondere Art der Sesquilinearform ähnlich den symmetrischen Bilinearformen.

Definition

Sei [math]V[/math] ein Vektorraum über dem Körper [math]\mathbb C[/math]. Eine Hermitesche Sesquilinearform ist eine Abbildung

[math]\langle \,,\,\rangle\colon V \times V \to \mathbb C [/math],

die für alle [math]x,y,z[/math] aus [math]V[/math] und für alle [math]a[/math] aus [math]\mathbb C[/math] die folgenden Bedingungen erfüllt:

  1. [math]\;\langle x,\,a \cdot y+z \rangle = a \langle x, y \rangle+\langle x, z \rangle[/math] (linear in einem Argument);
  2. [math]\;\langle a\cdot x + y, z \rangle = \overline{a}\langle x, z \rangle+\langle y, z \rangle[/math] (semilinear im anderen Argument);
  3. [math]\;\langle x, y \rangle = \overline{\langle y, x \rangle}[/math] (Hermitesche Symmetrie).

Dabei bezeichnet [math]\overline{x}[/math] komplexe Konjugation.

Für die Reihenfolge von linearem und semilinearem Argument gibt es unterschiedliche Konventionen.

Mit der Eigenschaft (3) folgt bereits (1) aus (2) und (2) aus (1). Der Übersichtlichkeit halber werden hier aber sowohl (1) als auch (2) als Bedingungen genannt.

Relevant ist der Begriff der Hermiteschen Sesquilinearform nur über dem Körper der komplexen Zahlen [math]\mathbb C[/math]; über dem Körper der reellen Zahlen [math]\mathbb R[/math] ist jede Hermitesche Sesquilinearform eine symmetrische Bilinearform. Das innere Produkt über einem komplexen Vektorraum ist eine Hermitesche Sesquilinearform. Analog dazu bezeichnet man auch eine Sesquilinearform auf einem beliebigen Modul als hermitesch, wenn [math]\langle x,y \rangle = \sigma (\langle y,x \rangle)[/math] für einen beliebigen involutiven Antiautomorphismus [math]\sigma[/math] auf dem dem Modul zugrundeliegenden Ring gilt. Liegt [math]\varepsilon[/math] im Zentrum des Ringes, so heißt die Sesquilinearform genau dann [math]\varepsilon[/math]-hermitesch, wenn [math]\langle x,y \rangle = \varepsilon \sigma(\langle y,x \rangle)[/math] gilt.[1]

Polarisierung

Für hermitesche Sesquilinearformen gilt eine Polarisierungsformel. Deren Konsequenz ist insbesondere, dass eine solche Form bereits durch ihre Werte auf der Diagonalen bestimmt ist.

Hermitesche Standardform

Die durch

[math]\langle \vec{x},\vec{y} \rangle =\langle (x_1, x_2, \ldots , x_n),(y_1, y_2, \ldots , y_n)\rangle =\bar x_1 y_1 +\bar x_2 y_2 +\ldots +\bar x_n y_n =\sum_{k=1}^{n}\bar x_k y_k[/math]

definierte Abbildung heißt Hermitesche Standardform.

Siehe auch

Literatur

Einzelnachweise

  1. Nicolas Bourbaki: Algèbre (= Éléments de mathématique). Springer, Berlin 2007, ISBN 3-540-35338-0, Kap. 9, S. 49.


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