Herbrand-Universum - LinkFang.de





Herbrand-Universum


Mit Herbrand-Universum bezeichnet man eine Menge in der Prädikatenlogik, die als Grundmenge zur Definition der Herbrand-Struktur herangezogen wird. Beide Begriffe sind Teil des Herbrand-Theorems, benannt nach Jacques Herbrand.

Definition

Sei [math]F[/math] eine (geschlossene) Formel in bereinigter Skolemform. Das Herbrand-Universum zu [math]F[/math], bezeichnet mit [math]H_F[/math], ist die kleinste Menge von Termen, die folgende Bedingungen erfüllt:

  1. Ist [math]c[/math] eine in [math]F[/math] vorkommende Konstante, dann ist [math]c \in H_0[/math].
  2. Kommt in [math]F[/math] keine Konstante vor, so wird eine neue Konstante [math]a[/math] eingeführt und in [math]H_0[/math] aufgenommen.
  3. [math]H_{k+1}[/math] ist induktiv definiert durch [math]H_k \cup G[/math]. Dabei ist [math]G[/math] eine Menge von Termen, die sich mittels der in [math]F[/math] vorkommenden Funktionssymbole und den bereits konstruierten Termen aus [math]H_k[/math] bilden lassen. Sei beispielsweise [math]g[/math] ein solches n-stelliges Funktionssymbol und seien [math]t_1, t_2, ..., t_n[/math] Terme aus [math]H_k[/math], dann ist [math]g(t_1, t_2, ..., t_n) \in H_{k+1}[/math]. Jeder so durch Funktionssymbole aus [math]F[/math] und Terme aus [math]H_k[/math] bildbare Term ist Element von [math]H_{k+1}[/math].

Daraus ergibt sich das Herbrand-Universum zu [math]F[/math]:

[math]H_F = \bigcup_{k\ge 0} H_{k}[/math]

Beispiel

F bezeichne eine prädikatenlogische Formel mit

[math]F:=\forall x \forall y \left( P\left(x,a\right) \vee Q\left(x,f\left(y\right)\right)\right)[/math]

[math]H_F[/math] ergibt sich zu

[math]H_F=\left\{a,f\left(a\right),f\left(f\left(a\right)\right), \ldots\right\}[/math]

Man sieht, dass bereits ein Funktionssymbol in [math]F[/math] zu einer unendlichen Menge von Termen führt.

Siehe auch


Kategorien: Mathematische Logik

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Herbrand-Universum (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

Änderungen: Alle Bilder mit den meisten Bildunterschriften wurden entfernt. Ebenso alle zu nicht-existierenden Artikeln/Kategorien gehenden internen Wikipedia-Links (Bsp. Portal-Links, Redlinks, Bearbeiten-Links). Entfernung von Navigationsframes, Geo & Normdaten, Mediadateien, gesprochene Versionen, z.T. ID&Class-Namen, Style von Div-Containern, Metadaten, Vorlagen, wie lesenwerte Artikel. Ansonsten sind keine Inhaltsänderungen vorgenommen worden. Weiterhin kann es durch die maschinelle Bearbeitung des Inhalts zu Fehlern gerade in der Darstellung kommen. Darum würden wir jeden Besucher unserer Seite darum bitten uns diese Fehler über den Support mittels einer Nachricht mit Link zu melden. Vielen Dank!

Stand der Informationen: August 201& - Wichtiger Hinweis: Da die Inhalte maschinell von Wikipedia übernommen wurden, ist eine manuelle Überprüfung nicht möglich. Somit garantiert LinkFang.de nicht die Richtigkeit und Aktualität der übernommenen Inhalte. Sollten die Informationen mittlerweile fehlerhaft sein, bitten wir Sie darum uns per Support oder E-Mail zu kontaktieren. Wir werden uns dann innerhalb von spätestens 10 Tagen um Ihr Anliegen kümmern. Auch ohne Anliegen erfolgt mindestens alle drei Monate ein Update der gesamten Inhalte.