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Herbrand-Interpretation


In der mathematischen Logik ist eine Herbrand-Interpretation einer Sprache der Logik erster Stufe mit Signatur [math] \mathcal{S} [/math] eine [math]\mathcal{S}[/math]-Interpretation [math] \mathcal{I} = (U,I) [/math], bei der das Universum [math]U[/math] das Herbrand-Universum über [math]\mathcal{S}[/math], d. h. die Menge aller Terme ohne freie Variablen, ist, und jeder Term „durch sich selbst“ interpretiert wird. Somit lässt sich eine Herbrand-Interpretation vollständig durch die Angabe der Interpretation der Relationssymbole beschreiben.

Formal wird jedes Funktionssymbol [math] f \in \mathcal{S} [/math] durch die Funktion [math]f^I \colon U \to U; \ t \mapsto f(t) [/math] interpretiert. Die Menge [math] HB [/math] der einfachen Aussagen heißt Herbrand-Basis zu [math] \mathcal S [/math]. Die Interpretation der Relationssymbole ist nun vollständig spezifiziert durch eine Teilmenge [math] \mathcal A \subseteq HB [/math] der Herbrand-Basis, wobei jedes [math]n[/math]-stellige Relationssymbol [math] R \in \mathcal{S} [/math] durch die Relation [math] R^I = \{(t_1,\dotsc,t_n) \in U^n \mid R(t_1,\dotsc,t_n) \in \mathcal A\} [/math] interpretiert wird.

Beispiel

Enthalte die Signatur [math] S [/math] nur das Konstantensymbol [math] a [/math] und das Funktionssymbol [math] f [/math]. Das zugehörige Herbrand-Universum ist [math]D\left(\mathcal{S}\right) = \{ a, f(a), f(f(a)), ... \}[/math]. Dann lautet die Zuordnung zwischen Funktionssymbolen und Elementen aus dem Universum:

[math]f^I(a) = f(a)[/math]
[math]f^I(f(a)) = f(f(a))[/math]
[math]f^I(f(f(a))) = f(f(f(a)))[/math]
...

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Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Herbrand-Interpretation (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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