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Helmholtz-Theorem


Das Helmholtz-Theorem, auch Helmholtz-Zerlegung, Stokes-Helmholtz-Zerlegung[1] oder Fundamentalsatz der Vektoranalysis, (nach Hermann von Helmholtz) besagt, dass für gewisse Gebiete [math]\Omega\subset\R^n[/math] der [math]L^p[/math]-Raum als direkte Summe von divergenzfreien Funktionen und Gradientenfeldern geschrieben werden kann.

Definitionen

Für ein Gebiet [math]\Omega\subset\R^n[/math] wird [math]L^p_\sigma(\Omega)=\overline{\{u\in C_c^\infty(\Omega): \nabla\cdot u=0\}}^{\|\cdot\|_p}[/math] der Raum der divergenzfreien Funktionen genannt, wobei [math]C_c^\infty(\Omega)[/math] der Raum der Testfunktionen ist und [math]\|\cdot\|_p[/math] die [math]p[/math]-Norm bezeichnet. Die Zerlegung

[math]L^p(\Omega)=L^p_\sigma(\Omega) \oplus G_p[/math]

mit [math]G_p=\{u=\nabla\phi: \phi\in L^1_\text{loc}(\Omega) \ \text{und}\ \nabla\phi \in L^p(\Omega)\}[/math] wird Helmholtz-Zerlegung genannt, insofern die Zerlegung existiert. In diesem Fall gibt es eine Projektion [math]P[/math] mit [math]PL^p(\Omega)=L^p_\sigma(\Omega)[/math], die sog. Helmholtz-Projektion.

Ist [math]\Omega[/math] der Halbraum, ein beschränktes Gebiet mit [math]C^2[/math]-Rand oder ein Außenraum mit [math]C^2[/math]-Rand, so existiert die Zerlegung. Für [math]p=2[/math] existiert die Zerlegung für beliebige Gebiete mit [math]C^2[/math]-Rand.[2]

Hat [math]\Omega[/math] einen [math]C^1[/math]-Rand, gilt [math]L^p_\sigma(\Omega)=\{u\in L^p(\Omega): \operatorname{div} u=0 \ \text{und}\ u\cdot \nu=0 \ \text{auf}\ \partial\Omega\}[/math], wobei [math]\nu[/math] die äußere Normale ist.

Mathematische Anwendung

In der Lösbarkeitstheorie der Navier-Stokes-Gleichungen spielt die Helmholtz-Projektion eine wichtige Rolle. Wird die Helmholtz-Projektion auf die linearisierte inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen angewandt, erhält man die Stokes-Gleichung

[math]u_t-P\Delta u=f[/math]

für [math]u,f\in L^p_\sigma(\Omega)[/math]. Gab es zuvor zwei Unbekannte, nämlich [math]u[/math] und [math]p[/math], gibt es jetzt nur noch eine Unbekannte. Beide Gleichungen, die Stokes- und die linearisierte Gleichung, sind jedoch äquivalent.

Der Operator [math]P\Delta[/math] wird Stokes-Operator genannt.

Physikalische Betrachtung

Das Helmholtz-Theorem besagt, dass es möglich ist, ein (fast) beliebiges Vektorfeld [math]\mathbf{f}(\mathbf{r})[/math] als Superposition eines rotationsfreien (wirbelfreien) Feldes [math]\mathbf{a}(\mathbf{r})[/math] und eines divergenzfreien (quellenfreien) Feldes [math]\mathbf{b}(\mathbf{r})[/math] darzustellen. Ein rotationsfreies Feld lässt sich jedoch wiederum durch ein skalares Potential [math]\phi(\mathbf{r})[/math] darstellen, ein divergenzfreies Feld durch ein Vektorpotential [math]\mathbf{A}(\mathbf{r})[/math].

[math]\mathbf{a}(\mathbf{r}) = -\operatorname{grad}(\phi(\mathbf{r}))[/math]

und

[math] \mathbf{b}(\mathbf{r}) = \operatorname{rot}(\mathbf{A}(\mathbf{r})) [/math]

dann folgt

[math]\operatorname{rot}(\mathbf{a}(\mathbf{r})) = -\operatorname{rot}(\operatorname{grad}(\phi(\mathbf{r})))\equiv 0[/math]

und

[math] \operatorname{div}(\mathbf{b}(\mathbf{r})) = \operatorname{div}(\operatorname{rot}(\mathbf{A}(\mathbf{r})))\equiv 0 [/math]

Es ist also möglich das Vektorfeld [math]\mathbf{f}(\mathbf{r})[/math] durch Superposition (Addition) zweier unterschiedlicher Potentiale [math]\phi(\mathbf{r})[/math] und [math]\mathbf{A}(\mathbf{r})[/math] auszudrücken (das Helmholtz-Theorem).

[math]\mathbf{f}(\mathbf{r}) = \mathbf{a}(\mathbf{r}) + \mathbf{b}(\mathbf{r}) = -\operatorname{grad}(\phi(\mathbf{r})) + \operatorname{rot}(\mathbf{A}(\mathbf{r}))[/math]

Die beiden einander ergänzenden Potentiale lassen sich durch die folgenden Integrale aus dem Feld [math]\mathbf{f}(\mathbf{r})[/math] gewinnen:

[math]\phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi}\int_V \frac{\operatorname{div}(\mathbf{f}(\mathbf{r}'))}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\mathrm{d}^3r'[/math]
[math]\mathbf{A}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi}\int_V \frac{\operatorname{rot}(\mathbf{f}(\mathbf{r}'))}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|} \mathrm{d}^3r'[/math]

Wobei [math]V[/math] das die Felder enthaltende Volumen ist.

Die mathematische Voraussetzung für die Anwendung des Helmholtzschen Theorems ist neben der Differenzierbarkeit des Vektorfelds [math]\mathbf{f}(\mathbf{r}),[/math] dass es für [math]r \to \infty[/math] schneller als [math]\frac{1}{r}[/math] gegen [math]0[/math] geht, also [math]\lim_{r \to \infty} \mathbf{f}(\mathbf{r}) r = 0[/math]. Ansonsten divergieren die obigen Integrale, lassen sich also nicht mehr berechnen.

Dieses Theorem ist besonders in der Elektrodynamik von Interesse, da sich mit seiner Hilfe die Maxwell-Gleichungen im Potentialbild schreiben und einfacher lösen lassen. Für alle physikalisch relevanten Probleme sind dabei die mathematischen Voraussetzungen erfüllt.

Redundanz

Während das ursprüngliche Vektorfeld an jedem Punkt von [math]\Omega[/math] durch [math]n[/math] Komponenten zu beschreiben ist, sind für das skalare und das Vektorpotential zusammen [math]n+1[/math] Komponenten nötig. Diese Redundanz lässt sich für [math]n=3[/math] beseitigen, indem der quellfreie Anteil des Vektorfeldes der toroidal-poloidalen Zerlegung unterworfen wird, wodurch letztlich insgesamt drei Skalarpotentiale zur Beschreibung ausreichen.

Einzelnachweise

  1. Tribikram Kundu: Ultrasonic and Electromagnetic NDE for Structure and Material Characterization. CRC Press, 2012, ISBN 1-4398-3663-9, S. 37 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  2. G. P. Galdi, An introduction to the mathematical theory of the Navier-Stokes equations. Vol. I, Springer Tracts in Natural Philosophy, vol. 38, Springer-Verlag, New York, 1994, ISBN 0-387-94172-X

Kategorien: Hermann von Helmholtz | Satz (Mathematik)

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