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Heaviside-Funktion


Die Heaviside-Funktion, auch Theta-, Treppen-, Schwellenwert-, Stufen-, Sprung- oder Einheitssprungfunktion genannt, ist eine in der Mathematik und Physik oft verwendete Funktion. Sie ist nach dem britischen Mathematiker und Physiker Oliver Heaviside (1850–1925) benannt.

Allgemeines

Die Heaviside-Funktion hat für jede beliebige negative Zahl den Wert null, andernfalls den Wert eins. Die Heaviside-Funktion ist mit Ausnahme der Stelle [math]x=0[/math] überall stetig. In Formeln geschrieben heißt das:

[math]\begin{align} \Theta\colon& \R \to \{0,1\} \\ \ & x \mapsto \begin{cases} 0 : & x \lt 0\\ 1 : & x \ge 0 \end{cases} \end{align}[/math]

Sie ist also die charakteristische Funktion des Intervalls [math][0,+\infty)[/math] der nichtnegativen reellen Zahlen.

In der Fachliteratur ist statt [math]\Theta(x)[/math] auch eine davon abweichende Nomenklatur geläufig:

  • [math]H(x)[/math], welche sich am Namen von Oliver Heaviside orientiert.
  • [math]s(x)[/math] und [math]\sigma(x)[/math] nach der Bezeichnung Sprungfunktion.
  • [math]u(x)[/math] nach der Bezeichnung englisch unit step function.
  • Auch [math]\epsilon(x)[/math] wird häufig verwendet.
  • In der Systemtheorie verwendet man auch das Symbol [math]1(x)[/math].

Die Funktion findet zahlreiche Anwendungen, etwa in der Nachrichtentechnik oder als mathematisches Filter: Multipliziert man punktweise jeden Wert einer beliebigen stetigen Funktion mit dem entsprechenden Wert der Heaviside-Funktion, ergibt sich eine Funktion, die links von [math]x=0[/math] den Wert Null hat (deterministische Funktion), rechts davon aber mit der ursprünglichen Funktion übereinstimmt.

Alternative Darstellungen

Den Wert der Heaviside-Funktion an der Stelle [math]x=0[/math] kann man auch folgendermaßen festlegen. Zur Kennzeichnung der Definition schreibt man

[math]\begin{align} \Theta_c\colon& \R \to \mathbb{K} \\ \,& x \mapsto \begin{cases} 0 : & x \lt 0\\ c : & x = 0\\ 1 : & x \gt 0 \end{cases} \end{align}[/math]

mit [math]0,1,c\in\mathbb{K}[/math]. Es kann [math]\mathbb{K}[/math] also eine beliebige Menge darstellen, solange sie 0 und 1 enthält. Üblicherweise wird jedoch [math]\mathbb{K} = [0,1] \subset \R[/math] verwendet.

Diese Definition ist charakterisiert durch die Eigenschaft, dass dann [math]\Theta_c(0) = c[/math] ist.

Durch die Wahl [math]c := \tfrac{1}{2}[/math] und folglich [math]\Theta_\frac{1}{2}(0) = \textstyle\frac{1}{2}[/math] erreicht man, dass die Gleichungen

[math]\Theta_\frac{1}{2}(x) = \tfrac{1}{2}(\sgn{(x)} + 1)[/math] und damit auch
[math]\Theta_\frac{1}{2}( -x ) = 1 - \Theta_\frac{1}{2}(x)[/math]

für alle reellen [math]x[/math] gültig sind.

Eine Integralrepräsentation der Heaviside-Sprungfunktion lautet wie folgt:

[math]\Theta(x)=-\lim_{ \varepsilon \to 0} {1\over 2\pi i}\int_{-\infty}^\infty {1 \over \tau+i\varepsilon} e^{-i x \tau} \, \mathrm d \tau [/math]

Eine weitere Repräsentation ist gegeben durch

[math]\Theta(x)=\lim_{\varepsilon\to 0}{1\over\pi}\left[ \arctan \left( {x\over\varepsilon} \right)+{\pi\over 2} \right][/math]

Eigenschaften

Differenzierbarkeit

Die Heaviside-Funktion ist weder im klassischen Sinne differenzierbar noch ist sie schwach differenzierbar. Dennoch kann man über die Theorie der Distributionen eine Ableitung definieren. Die Ableitung der Heaviside-Funktion in diesem Sinne ist die diracsche Delta-Distribution, die in der Physik zur Beschreibung von punktförmigen Quellen von Feldern Verwendung findet.

[math]\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\Theta(x) = \delta(x)[/math]

Eine heuristische Begründung für diese Formel erhält man, wenn man [math]\Theta (x)[/math] und [math] \delta (x) [/math] geeignet approximiert, z. B. durch

[math]\Theta_\epsilon (x) := 0[/math] für [math] x\lt (-\epsilon)[/math],
[math]\Theta_\epsilon (x) := \left(\frac{1}{2} + \frac{x}{2\epsilon}\right)[/math] für [math]|x|\le\epsilon[/math],
[math]\Theta_\epsilon (x) := 1[/math] für [math]x\gt\epsilon\,,[/math]

sowie

[math]\delta_\epsilon (x):= 0[/math] für [math]|x| \gt\epsilon[/math]

und

[math]\delta_\epsilon (x) := \frac{1}{2\epsilon}[/math] für [math]|x|\le\epsilon\,.[/math]

Integration

Die Stammfunktion der Heaviside-Sprungfunktion erhält man durch partielle Integration und Anwendung der Faltungseigenschaft der Delta-Distribution:

[math]\int\Theta(x) \, \mathrm dx = \Theta(x)x + C[/math]

Siehe auch

Weblinks


Kategorien: Mathematische Funktion

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