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Hausdorff-Metrik


Die Hausdorff-Metrik, benannt nach dem Mathematiker Felix Hausdorff, misst den Abstand δ(A,B) zwischen nichtleeren kompakten Teilmengen A, B eines metrischen Raums E.

Anschaulich haben zwei kompakte Teilmengen umso geringeren Hausdorff-Abstand, je besser sie einander wechselseitig überdecken.

Definition

Als Hilfsmittel definiert man den Abstand [math]D[/math] zwischen einem Punkt [math]x[/math] und einer nichtleeren kompakten Teilmenge [math]K\subseteq E[/math] unter Rückgriff auf die Metrik [math]d[/math] des Raums [math]E[/math] als

[math]D(x,K):=\min \{d(x,k) \mid k\in K\}.[/math]

Dann definiert man den Hausdorff-Abstand zwischen zwei nichtleeren kompakten Teilmengen [math]A[/math] und [math]B[/math] als

[math]\delta(A,B):= \max \{\max\{D(a,B) \mid a\in A\} , \max\{D(b, A) \mid b\in B\} \}.[/math]

Man kann zeigen, dass [math]\delta[/math] in der Tat eine Metrik auf der Menge aller kompakten Teilmengen von [math]E[/math] ist.

Anwendungen

In der Theorie der iterierten Funktionensysteme werden Fraktale als Folgengrenzwerte im Sinne der Hausdorff-Metrik erzeugt.

Siehe auch

Literatur


Kategorien: Felix Hausdorff | Geometrie | Topologie

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