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Hauptidealring


In der Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik, bezeichnet man Integritätsringe als Hauptidealringe oder Hauptidealbereiche, wenn jedes Ideal ein Hauptideal ist. Die wichtigsten Beispiele für Hauptidealringe sind der Ring der ganzen Zahlen sowie Polynomringe in einer Unbestimmten über einem Körper. Der Begriff des Hauptidealrings erlaubt es, Aussagen über diese beiden Spezialfälle einheitlich zu formulieren. Beispiele für Anwendungen der allgemeinen Theorie sind die Jordansche Normalform, die Partialbruchzerlegung oder die Strukturtheorie endlich erzeugter abelscher Gruppen.

Definition

Ein Integritätsring [math]A[/math] (d. h. ein nullteilerfreier kommutativer Ring mit [math]1\ne0[/math]) heißt Hauptidealring, wenn jedes Ideal [math]I\subseteq A[/math] ein Hauptideal ist, d. h. es gibt ein [math]x\in A[/math], so dass [math]I=A\cdot x=\left\{a\cdot x\mid a\in A\right\}[/math].

Im Folgenden sei [math]A[/math] ein Hauptidealring und [math]K[/math] sein Quotientenkörper. Außerdem sei [math]P\subset A[/math] eine Menge, die für jedes irreduzible [math]p\in A[/math] genau ein zu [math]p[/math] assoziiertes Element enthält. Im Fall [math]A=\Z[/math] ist die Menge der (positiven) Primzahlen ein solches [math]P[/math], im Fall [math]A=k[T][/math] für einen Körper [math]k[/math] die Menge der irreduziblen Polynome mit Leitkoeffizient 1.

Beispiele, Folgerungen und Gegenbeispiele

Die folgenden Ringe sind Hauptidealringe:

Hauptidealringe gehören zu den folgenden allgemeineren Klassen von Ringen:

  • Ein Element [math]a\in A\setminus\{0\}[/math] ist genau dann prim, wenn es irreduzibel ist.
  • Jedes Element ungleich null des Quotientenkörpers von [math]A[/math] lässt sich auf eindeutige Weise in der Form
[math]u\cdot\prod_{p\in P} p^{e_p}[/math]
mit ganzen Zahlen [math]e_p[/math] und einer Einheit [math]u\in A^\times[/math] schreiben.
  • Das Lemma von Gauß: Jedes irreduzible Element in [math]A[X][/math] ist entweder ein irreduzibles Element von [math]A[/math] (aufgefasst als konstantes Polynom) oder ein in [math]K[X][/math] irreduzibles Polynom, dessen Koeffizienten teilerfremd sind.[2]

Keine Hauptidealringe sind:

  • [math]\Z[X][/math] Der Polynomring über den ganzen Zahlen ist kein Hauptidealring, da das von [math]2[/math] und [math]X[/math] erzeugte Ideal nicht durch ein einzelnes Polynom erzeugt werden kann. Dieser Ring ist aber nach dem erwähnten Lemma von Gauß faktoriell, da er ein Polynomring über einem faktoriellen Ring ist.
  • [math]k[x,y][/math] ist kein Hauptidealring, da das Ideal [math](x,y)[/math] kein Hauptideal ist.

Teilbarkeit

  • Der (bis auf Assoziiertheit eindeutige) größte gemeinsame Teiler von Elementen [math]x_1,\dots,x_m[/math] ist der (bis auf Assoziiertheit eindeutige) Erzeuger des Ideals [math](x_1,\dots,x_m)[/math]. Insbesondere gilt das Lemma von Bézout: Es existieren [math]a_1,\dots,a_m\in A[/math] mit
[math]\operatorname{ggT}(x_1,\dots,x_m)=a_1 x_1+\dots+a_m x_m.[/math]
Spezialfall: [math]x_1,\dots,x_k[/math] sind genau dann teilerfremd, wenn es [math]a_1,\dots,a_m[/math] gibt mit
[math]1=a_1 x_1+\dots+a_m x_m.[/math]
  • Das kleinste gemeinsame Vielfache von [math]x_1,\ldots,x_m[/math] ist der Erzeuger des Ideals [math](x_1)\cap\ldots\cap(x_m)[/math].
  • Chinesischer Restsatz: Sind [math]x_1,\dots,x_m[/math] paarweise teilerfremd, so ist der kanonische Ringhomomorphismus
[math]A/(x_1\cdots x_m)\to\prod_{i=1}^m A/(x_i)[/math]
ein Isomorphismus.[3]
  • Eine Verschärfung des chinesischen Restsatzes ist der Approximationssatz: Gegeben seien [math]x_1,\dots,x_m\in K[/math], paarweise verschiedene [math]p_1,\dots,p_m\in P[/math] sowie Zahlen [math]n_1,\dots,n_m\in\N[/math]. Dann gibt es ein [math]x\in K[/math], das [math]x_i[/math] bezüglich [math]p_i[/math] in [math]n_i[/math]-ter Ordnung approximiert und ansonsten regulär ist, d. h.
[math]v_{p_i}(x-x_i)\geq n_i[/math] für [math]i=1,\dots,m[/math]
und
[math]v_p(x)\geq0[/math] für [math]p\in P\setminus\{p_1,\dots,p_m\}[/math].
Dabei bezeichnet [math]v_p(x)\in\Z[/math] den Exponenten von [math]p[/math] in der Primfaktorzerlegung von [math]x[/math].[4]
  • Für [math]p\in A\setminus\{0\}[/math] sind äquivalent:
    • [math]p[/math] ist irreduzibel
    • [math]p[/math] ist ein Primelement
    • [math](p)[/math] ist ein Primideal
    • [math](p)[/math] ist ein maximales Ideal
Das Nullideal ist ebenfalls ein Primideal, jedoch nur dann maximal, wenn [math]A[/math] ein Körper ist.

Hauptidealringe als Dedekind-Ringe

Hauptartikel: Dedekind-Ring

Viele in algebraischer Zahlentheorie und algebraischer Geometrie natürlich auftretende Ringe sind keine Hauptidealringe, sondern gehören einer etwas allgemeineren Klasse von Ringen an, den Dedekind-Ringen. Sie sind die lokalisierte Version der Hauptidealringe, Ideale sind nicht mehr global, sondern nur noch lokal von einem Element erzeugt:

Ist [math]A[/math] ein noetherscher Integritätsbereich, für den der lokale Ring [math]A_\mathfrak{p}[/math] für jedes Primideal [math]\mathfrak{p}[/math] ein Hauptidealring ist, so heißt [math]A[/math] Dedekind-Ring.[5]

Die folgenden Eigenschaften gelten für Hauptidealringe, aber auch allgemeiner für Dedekind-Ringe:

Ist ein Dedekind-Ring faktoriell oder semilokal, so ist er ein Hauptidealring.[6]

Moduln über Hauptidealringen

Allgemeines

[math]0\to A\to K\to K/A\to 0.[/math]

Endlich erzeugte Moduln: Elementarteilersatz

Der Elementarteilersatz beschreibt die Struktur einer Zerlegung eines endlich erzeugten Moduls in unzerlegbare Moduln. (Ein Modul [math]M[/math] heißt unzerlegbar, wenn es keine Moduln [math]M_1,M_2\ne0[/math] gibt mit [math]M\cong M_1\oplus M_2[/math].)

Es sei [math]P[/math] wie oben ein Vertretersystem der irreduziblen Elemente (bis auf Assoziiertheit). Zu jedem endlich erzeugten Modul [math]M[/math] gibt es eindeutig bestimmte nichtnegative ganze Zahlen [math]m_0[/math] und [math]m_{p,i}[/math] für [math]p\in P,k\in\N_{\geq1}[/math], von denen fast alle null sind, so dass

[math]M\cong A^{m_0}\oplus\bigoplus_{p\in P}\bigoplus_{i\geq1} (A/(p^i))^{m_{p,i}}.[/math]

Die Zahlen [math]m_0,m_{p,i}[/math] sind durch [math]M[/math] eindeutig festgelegt, und die einzelnen Faktoren [math]A[/math] bzw. [math]A/(p^k)[/math] sind unzerlegbar. Die Ideale [math](p^i)[/math], für die [math]m_{p,i}\ne0[/math] gilt, heißen Elementarteiler von [math]M[/math].[11]

Endlich erzeugte Moduln: Invariante Faktoren

Zu jedem endlich erzeugten Modul [math]M[/math] gibt es eine endliche Folge [math]x_1,x_2,\dots,x_m[/math] von Elementen von [math]A[/math], die nicht notwendigerweise von null verschieden sind, so dass

  • [math]x_i\mid x_{i+1}[/math] für [math]i=1,2,\dots,m-1[/math]
  • [math]M\cong\bigoplus_{i=1}^m A/(x_i).[/math]

Die Ideale [math](x_i)[/math] sind durch [math]M[/math] eindeutig bestimmt und heißen die invarianten Faktoren von [math]M[/math]. Die Elemente [math]x_i[/math] sind folglich bis auf Assoziiertheit eindeutig bestimmt.[12]

Zu dieser Aussage über Moduln gibt es zwei konkurrierende Sichtweisen:

  • Zu einem Modul [math]M[/math] kann man Erzeuger [math]w_1,\dots,w_m[/math] wählen und den Kern [math]U\subseteq A^m[/math] des zugehörigen Homomorphismus [math]A^m\to M[/math] betrachten.
  • Zu einem Untermodul [math]U\subseteq A^m[/math] kann man Erzeuger [math]u_1,\dots,u_n[/math] wählen und die [math]m\times n[/math]-Matrix [math]X[/math] mit Einträgen in [math]A[/math] betrachten, die den Homomorphismus [math]A^n\to A^m[/math] mit Bild [math]U[/math] beschreibt.

Umgekehrt ist das Bild einer [math]m\times n[/math]-Matrix mit Einträgen in [math]A[/math] ein Untermodul [math]U\subseteq A^m[/math], und der Quotientenmodul [math]M=A^m/U[/math] (der Kokern des durch [math]X[/math] gegebenen Homomorphismus [math]A^n\to A^m[/math]) ist ein endlich erzeugter [math]A[/math]-Modul.

Für Untermoduln freier Moduln lautet die Aussage:

  • Ist [math]F[/math] ein freier [math]A[/math]-Modul und [math]U[/math] ein (ebenfalls freier) Untermodul von [math]F[/math] vom Rang [math]r[/math], so gibt es [math]n[/math] Elemente [math]e_1,\dots,e_r\in F[/math], die Teil einer Basis von [math]F[/math] sind, sowie Elemente [math]x_1,\dots,x_r\in A[/math] mit [math]x_1\mid x_2\mid\dots\mid x_r[/math], so dass [math]x_1 e_1,\dots,x_r e_r[/math] eine Basis von [math]U[/math] ist. Der von den [math]e_k[/math] aufgespannte Teil [math]F'\subseteq F[/math] lässt sich invariant als das Urbild des Torsionsuntermoduls von [math]F/U[/math] beschreiben. Die Ideale [math](x_k)[/math] sind die Invarianten (wie oben) des Moduls [math]F'/U[/math], evtl. ergänzt um [math]x_{k+1}=\dots=x_m=0[/math].[13]

Für Matrizen (Smith-Normalform):

  • Ist [math]X[/math] eine [math]m\times n[/math]-Matrix mit Einträgen vom Rang [math]r[/math] mit Einträgen in [math]A[/math], so gibt es invertierbare Matrizen [math]P\in\operatorname{GL}(m,A),Q\in\operatorname{GL}(n,A)[/math], so dass [math]PXQ[/math] folgende Gestalt hat:
[math]\begin{pmatrix}x_1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & x_2 & \ddots & \vdots & \vdots && \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 & \vdots && \vdots \\ 0 &\cdots & 0 & x_r & 0 & \cdots & 0 \\ 0 &\cdots & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots &&& \vdots & \vdots && \vdots \\ 0 &\cdots & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}[/math]
Dabei sind [math]x_1\mid x_2\mid\dots\mid x_r[/math] wieder die Invarianten wie oben.[14]

Torsionsmoduln

Es sei [math]M[/math] ein (nicht notwendigerweise endlich erzeugter) Torsionsmodul über [math]A[/math], d. h. für jedes [math]m\in M[/math] existiert ein [math]a\in A\setminus\{0\}[/math] mit [math]am=0[/math]. Wieder sei [math]P\subset A[/math] ein Vertretersystem der irreduziblen Elemente. Dann gilt:[15] [math]M[/math] ist die direkte Summe der [math]p[/math]-primären Untermoduln [math]M_{(p)}[/math], d. h.

[math]M=\bigoplus_{p\in P}M_{(p)}[/math]

mit

[math]M_{(p)}=\left\{m\in M\mid p^i m=0\ \text{für ein} \ i\in\N\right\}.[/math]

Als Korollar ergibt sich, dass [math]M[/math] genau dann halbeinfach ist, wenn [math]p\cdot M_{(p)}=0[/math] für alle [math]p\in P[/math].[16]

Anwendungsbeispiele:

  • Ist [math]A=\Z[/math] und [math]M=K/A=\Q/\Z[/math], so lautet die Aussage: Jede rationale Zahl besitzt eine eindeutige Darstellung
[math]a+\sum_{p\ \text{prim}}\sum_{i=1}^{o_p}d_{p,i} p^{-i}[/math]
mit [math]a\in\Z[/math], [math]o_p\geq0[/math] (und fast alle [math]o_p=0[/math]) sowie [math]d_{p,i}\in\{0,1,\dots,p-1\}[/math] und [math]d_{p,o_p}\ne0[/math].[17]
  • Ist [math]A=k[T][/math] ([math]k[/math] ein Körper) und [math]M=K/A=k(T)/k[T][/math], so entspricht [math]M_{(p)}[/math] den rationalen Funktionen, deren Nenner eine Potenz von [math]p[/math] ist. Der Satz liefert also den ersten Schritt der Partialbruchzerlegung, d. h. der eindeutigen Darstellung einer rationalen Funktion als
[math]a+\sum_p\sum_{i=1}^{o_p} d_{p,i} p^{-i}.[/math]
Dabei durchläuft [math]p[/math] die irreduziblen normierten Polynome in [math]k[T][/math], die weiteren Komponenten sind der reguläre Anteil [math]a\in k[T][/math], die Ordnungen [math]o_p\geq0[/math] (fast alle [math]o_p=0[/math]) und geeignete Polynome [math]d_{p,i}[/math] für [math]i=1,2,\dots,o_p[/math] mit [math]\deg(d_{p,i})\lt\deg(p)[/math]. Ist insbesondere [math]p[/math] linear, so sind die [math]d_{p,i}[/math] Konstanten.[18]
  • Ist [math]A=k[T][/math] und [math]M[/math] ein endlichdimensionaler [math]k[/math]-Vektorraum zusammen mit einem Endomorphismus [math]f[/math] (mit der [math]A[/math]-Modulstruktur [math]Tv=f(v)[/math]), so ist die obige Zerlegung die Aufspaltung in die Haupträume. Das Korollar besagt in diesem Fall, dass [math]f[/math] genau dann halbeinfach ist, wenn das Minimalpolynom von [math]f[/math] keine mehrfachen Faktoren enthält.[19]

Verallgemeinerung auf nicht-kommutative Ringe

Die Definitionen lassen sich auf nicht-kommutative Ringe verallgemeinern. Ein Rechts-Hauptideal [math]I[/math] ist Rechts-Vielfaches [math]gA[/math] eines einzelnen Elements [math]g \in A[/math]; [math]Ag[/math] ist ein Links-Hauptideal. Wie im kommutativen Fall sind [math]\{0\} = 0A = A0[/math] und [math]A=1A = A1[/math] die trivialen (und zweiseitigen) Hauptideale.

Die Hurwitzquaternionen sind ein Beispiel für einen nicht-kommutativen Ring, der mit seiner Norm als euklidischer Norm sowohl links- als auch rechtseuklidisch und damit sowohl rechts- wie linksseitig ein Hauptidealring ist.

Verwandte Begriffe

  • Wird nur gefordert, dass jedes Ideal endlich erzeugt ist, gelangt man zum Begriff des noetherschen Rings.
  • Umgekehrt kann man an einen Integritätsbereich die Bedingung stellen, dass alle endlich erzeugten Ideale Hauptideale sind: Dies sind die sogenannten Bézoutringe. Hauptidealringe sind also genau die noetherschen Bézoutringe.
  • Manchmal werden auch nicht nullteilerfreie Ringe in der Definition des Begriffes „Hauptidealring“ erlaubt, es wird also nur gefordert, dass jedes Ideal ein Hauptideal ist und [math]1\ne0[/math].[20] Im Englischen wird hierzu sprachlich zwischen principal ideal ring und principal ideal domain (domain = Integritätsbereich) unterschieden. Die entsprechende Unterscheidung der Begriffe Hauptidealring und Hauptidealbereich ist im Deutschen jedoch unüblich.[21]

Literatur

  • Serge Lang: Algebra. Revised 3rd edition. Springer, Berlin u. a. 2002, ISBN 0-387-95385-X (Graduate Texts in Mathematics 211).
  • Nicolas Bourbaki: Algebra II. Chapters 4–7. Springer, Berlin u. a. 1990, ISBN 3-540-19375-8 (Elements of Mathematics).
  • Nicolas Bourbaki: Eléments de mathématique. Algèbre Commutative. Band 10: Chapitre 10. Réimpression de l'édition de 1998. Springer, Berlin u. a. 2007, ISBN 978-3-540-34394-3.
  • Nicolas Bourbaki: Commutative Algebra. Chapters 1–7. 2nd printing. Springer, Berlin u. a. 1989, ISBN 3-540-19371-5 (Elements of Mathematics).
  • Stefan Müller-Stach, Jens Piontkowski: Elementare und algebraische Zahlentheorie. Ein moderner Zugang zu klassischen Themen. Vieweg, Wiesbaden 2006, ISBN 3-8348-0211-5 (Vieweg Studium).

Einzelnachweise

  1. Lang, Theorem II.5.2, S. 112
  2. Lang, Theorem IV.2.3, S. 182
  3. Lang, Corollary II.2.2, S. 95
  4. Bourbaki, Commutative Algebra, Ch. VII, §2.4, Proposition 2
  5. Bourbaki, Commutative Algebra, Ch. VII, §2
  6. Stefan Müller-Stach, Jens Piontkowski: Elementare und algebraische Zahlentheorie. Vieweg-Verlag, 2006, S. 188. (Satz 18.16)
  7. Bourbaki, Algebra, Ch. VII, § 3, Corollary 2; Lang, Theorem III.7.1
  8. Bourbaki, Algebra, Ch. VII, § 4, No. 4, Corollary 1 und 2; Lang, Theorem III.7.3
  9. Bourbaki, Algebra, Ch. VII, § 3, Corollary 3
  10. Bourbaki, Algèbre, Ch. X, § 1, No. 7, Corollaire 2
  11. Bourbaki, Algebra, Ch. VII, § 4, No. 8, Proposition 9; Lang, Theorem III.7.5
  12. Bourbaki, Algebra, Ch. VII, § 4, No. 4, Theorem 2; Lang, Theorem III.7.7
  13. Bourbaki, Algebra, Ch. VII, § 4, No. 3, Theorem 1; Lang, Theorem III.7.8
  14. Bourbaki, Algebra, Ch. VII, § 4, No. 6, Corollary 1; Lang, Theorem III.7.9
  15. Bourbaki, Algebra, Ch. VII, § 2, No. 2, Theorem 1
  16. Bourbaki, Algebra, Ch. VII, § 2, No. 2, Corollary 4
  17. Bourbaki, Algebra, Ch. VII, § 2, No. 3, I
  18. Bourbaki, Algebra, Ch. VII, § 2, No. 3, II
  19. Bourbaki, Algebra, Ch. VII, § 5, No. 8, Proposition 14
  20. Lang, II, §1, S. 86
  21. Rainer Schulze-Pillot: Einführung in Algebra und Zahlentheorie. Springer-Verlag, 2014, ISBN 978-3-642-55216-8, S. 34 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

Kategorien: Ring (Algebra)

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