Harmonisches Mittel - LinkFang.de





Harmonisches Mittel


Das harmonische Mittel ist ein Mittelwert einer Menge von Zahlen. Es war schon Pythagoras bekannt. Es ist der Spezialfall des Hölder-Mittels mit Parameter −1.

Definition

Das harmonische Mittel der Zahlen [math]x_1,\dots,x_n[/math] ist als

[math] \bar{x}_\mathrm{harm} = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \cdots + \frac{1}{x_n}}[/math]

definiert. Der Kehrwert des harmonischen Mittels ist

[math] \frac{1}{\bar{x}_\mathrm{harm}} = \frac{\frac{1}{x_1} + \cdots + \frac{1}{x_n}}{n} [/math]

und somit das arithmetische Mittel der Kehrwerte.

Für zwei Werte a und b ergibt sich

[math]\bar{x}_\mathrm{harm} = \frac{2ab}{a +b} = \frac{\bar{x}_\mathrm{geom}^2}{\bar{x}_\mathrm{arithm}}[/math]

mit dem arithmetischen Mittel [math]\bar{x}_\mathrm{arithm}[/math] und dem geometrischen Mittel [math]\bar{x}_\mathrm{geom}[/math].

Beispiel für das harmonische Mittel von 5 und 20:

[math]\frac{2}{\frac{1}{5}+\frac{1}{20}} = \frac{2}{\frac{1}{4}} = 8[/math]     oder     [math]\frac{2 \cdot 5 \cdot 20}{5 + 20} = 8.[/math]

Mit der ersten Formel ist das harmonische Mittel zunächst nur für von null verschiedene Zahlen [math]x_i[/math] definiert. Geht aber einer der Werte [math]x_i[/math] gegen null, so existiert der Grenzwert des harmonischen Mittels und ist ebenfalls gleich null. Daher ist es sinnvoll, das harmonische Mittel als null zu definieren, wenn mindestens eine der zu mittelnden Größen gleich null ist.

Für nichtnegative [math]x_i[/math] gilt damit

[math]\min(x_1,\dotsc,x_n)\le\bar x_{\text{harm}}\le\bar x_{\text{geom}}\le\bar x_{\text{arithm}}\le\max(x_1,\dotsc,x_n).[/math]

Gewichtetes harmonisches Mittel

Sind den [math]x_i[/math] positive Gewichte [math]w_i\gt0[/math] zugeordnet, so ist das gewichtete harmonische Mittel wie folgt definiert:

[math] \bar{x}_\mathrm{harm} = \frac{w_1 + \cdots + w_n}{\frac{w_1}{x_1} + \cdots + \frac{w_n}{x_n}} [/math]

Sind alle [math]w_i[/math] gleich, so erhält man das gewöhnliche harmonische Mittel.

Beispiel

Allgemein gilt: Benötigt man für die Teilstrecke [math]s_1[/math] die Zeit [math]t_1[/math] (also Durchschnittsgeschwindigkeit [math]v_1=s_1/t_1[/math]) und für die Teilstrecke [math]s_2[/math] die Zeit [math]t_2[/math] (also Durchschnittsgeschwindigkeit [math]v_2=s_2/t_2[/math]), so gilt für die Durchschnittsgeschwindigkeit über die gesamte Strecke

[math]v = \frac{s_1+s_2}{t_1+t_2} = \frac{s_1+s_2}{\frac{s_1}{v_1}+\frac{s_2}{v_2}} = \frac{t_1v_1+t_2v_2}{t_1+t_2}[/math]

Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist also das mit den Wegstrecken gewichtete harmonische Mittel der Teilgeschwindigkeiten oder das mit der benötigten Zeit gewichtete arithmetische Mittel der Teilgeschwindigkeiten.

Fährt man eine Stunde mit 50 km/h und dann eine Stunde mit 100 km/h, so legt man insgesamt 150 km in 2 Stunden zurück; die Durchschnittsgeschwindigkeit ist 75 km/h, also das arithmetische Mittel von 50 und 100. Bezieht man sich hingegen nicht auf die benötigte Zeit, sondern auf die durchfahrene Strecke, so wird die Durchschnittsgeschwindigkeit durch das harmonische Mittel beschrieben: Fährt man 100 km mit 50 km/h und dann 100 km mit 100 km/h, so legt man 200 km in 3 Stunden zurück, die Durchschnittsgeschwindigkeit ist 66 2/3 km/h, also das harmonische Mittel von 50 und 100.

[math]v = \frac{100\mathrm{km}+100\mathrm{km}}{2\mathrm{h}+1\mathrm{h}} = \frac{100\mathrm{km}+100\mathrm{km}}{\frac{100\mathrm{km}}{50\mathrm{km/h}}+\frac{100\mathrm{km}}{100\mathrm{km/h}}} = \frac{2\mathrm{h}\cdot 50\mathrm{km/h}+1\mathrm{h} \cdot 100\mathrm{km/h}}{2\mathrm{h}+1\mathrm{h}} = \frac{200}{3} \ \mathrm{km/h} = 66\,\frac{2}{3} \ \mathrm{km/h}[/math]

Weblinks


Kategorien: Mittelwert

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Harmonisches Mittel (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

Änderungen: Alle Bilder mit den meisten Bildunterschriften wurden entfernt. Ebenso alle zu nicht-existierenden Artikeln/Kategorien gehenden internen Wikipedia-Links (Bsp. Portal-Links, Redlinks, Bearbeiten-Links). Entfernung von Navigationsframes, Geo & Normdaten, Mediadateien, gesprochene Versionen, z.T. ID&Class-Namen, Style von Div-Containern, Metadaten, Vorlagen, wie lesenwerte Artikel. Ansonsten sind keine Inhaltsänderungen vorgenommen worden. Weiterhin kann es durch die maschinelle Bearbeitung des Inhalts zu Fehlern gerade in der Darstellung kommen. Darum würden wir jeden Besucher unserer Seite darum bitten uns diese Fehler über den Support mittels einer Nachricht mit Link zu melden. Vielen Dank!

Stand der Informationen: August 201& - Wichtiger Hinweis: Da die Inhalte maschinell von Wikipedia übernommen wurden, ist eine manuelle Überprüfung nicht möglich. Somit garantiert LinkFang.de nicht die Richtigkeit und Aktualität der übernommenen Inhalte. Sollten die Informationen mittlerweile fehlerhaft sein, bitten wir Sie darum uns per Support oder E-Mail zu kontaktieren. Wir werden uns dann innerhalb von spätestens 10 Tagen um Ihr Anliegen kümmern. Auch ohne Anliegen erfolgt mindestens alle drei Monate ein Update der gesamten Inhalte.