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Harmonische Funktion


In der Analysis heißt eine reellwertige, zweimal stetig differenzierbare Funktion harmonisch, wenn die Anwendung des Laplace-Operators auf die Funktion null ergibt, die Funktion also eine Lösung der Laplace-Gleichung ist. Das Konzept der harmonischen Funktionen kann man auch auf Distributionen und Differentialformen übertragen.

Definition

Sei [math]U \subseteq \mathbb{R}^n[/math] eine offene Teilmenge. Eine Funktion [math]f : U \rightarrow \mathbb{R}[/math] heißt harmonisch in [math]U[/math], falls sie zweimal stetig differenzierbar ist und für alle [math]x \in U[/math]

[math]\Delta f(x) = 0[/math]

gilt. Dabei bezeichnet [math]\Delta = \tfrac{\partial^2}{\partial x_1^2} + \tfrac{\partial^2}{\partial x_2^2} + \cdots + \tfrac{\partial^2}{\partial x_n^2}[/math] den Laplace-Operator.

Mittelwerteigenschaft

Die wichtigste Eigenschaft harmonischer Funktionen ist die Mittelwerteigenschaft, welche äquivalent ist zur Definition:

Eine stetige Funktion [math]f : U \rightarrow \mathbb{R}[/math] ist genau dann harmonisch, wenn sie die Mittelwerteigenschaft erfüllt, das heißt, wenn

[math]f(x) = \frac{1}{r^{n-1} s_{n-1}} \int_{\partial B(x, r)} f(y) \mathrm{d} \sigma(y)[/math]

für alle Kugeln [math]\ B(x, r)[/math] mit [math]\overline{B}(x, r) \subset U[/math]. Hierbei bezeichnet [math]\ s_{n-1}[/math] das Oberflächenmaß der [math]n-1[/math]-dimensionalen Einheitssphäre.

Weitere Eigenschaften

Die weiteren Eigenschaften der harmonischen Funktionen sind größtenteils Konsequenzen der Mittelwerteigenschaft.

  • Maximumprinzip: Im Innern eines zusammenhängenden Definitionsgebietes [math]U[/math] nimmt eine harmonische Funktion ihr Maximum und ihr Minimum nie an, außer wenn sie konstant ist. Besitzt die Funktion zudem eine stetige Fortsetzung auf den Abschluss [math]\overline{U}[/math], so werden Maximum und Minimum auf dem Rand [math]\partial U[/math] angenommen.
  • Glattheit: Eine harmonische Funktion ist beliebig oft differenzierbar. Dies ist insbesondere bei der Formulierung mit Hilfe der Mittelwerteigenschaft bemerkenswert, wo nur die Stetigkeit der Funktion vorausgesetzt wird.
  • Abschätzung der Ableitungen: Sei [math]f[/math] harmonisch in [math]U[/math]. Dann gilt für die Ableitungen
    [math]\left| D^\alpha f(x)\right| \leq \frac{\left(2^{n+1} n |\alpha|\right)^{|\alpha|}}{v_n} \left\|f\right\|_{L^1(B(x,r))},[/math]
    wobei [math]v_n[/math] das Volumen der [math]n[/math]-dimensionalen Einheitskugel bezeichnet.
  • Analytizität: Aus der Abschätzung der Ableitungen folgt, dass jede harmonische Funktion in eine konvergente Taylorreihe entwickelt werden kann.
  • Satz von Liouville: Eine beschränkte harmonische Funktion [math]f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}[/math] ist konstant.
  • Harnack-Ungleichung: Für jede zusammenhängende, offene und relativ kompakte Teilmenge [math]V \subset\subset U[/math] gibt es eine Konstante [math]C \geq 0[/math], die nur von dem Gebiet [math]V[/math] abhängt, so dass für jede in [math]U[/math] harmonische und nichtnegative Funktion [math]f[/math]
    [math]\sup_V f \leq C \inf_V f[/math]
    gilt.
  • Im Sonderfall [math]n = 2[/math] für ein einfach zusammenhängendes Gebiet [math]U \subset \mathbb{R}^2 \cong \mathbb{C}[/math] können die harmonischen Funktionen als Realteile analytischer Funktionen einer komplexen Variablen aufgefasst werden.
  • Jede harmonische Funktion ist auch eine biharmonische Funktion.

Beispiel

Die Grundlösung

[math]S(x) := \left\{\begin{array}{ll}-\frac{1}{2\pi}\ln|x|\ ,&n=2\ ,\\ \frac{1}{(n-2)\omega_n}\frac{1}{\|x\|^{n-2}}\ ,&n \geq 3\ ,\\\end{array}\right.[/math]

ist eine auf [math]\mathbb{R}^n\setminus\{0\}[/math] harmonische Funktion, worin [math]\omega_n[/math] das Maß der Einheitssphäre im [math]\mathbb{R}^n[/math] bezeichnet. Versehen mit dieser Normierung spielt die Grundlösung eine fundamentale Rolle in der Theorie zur Poisson-Gleichung.

Literatur

  • Lawrence C. Evans: Partial Differential Equations. Reprinted with corrections. American Mathematical Society, Providence RI 2002, ISBN 0-8218-0772-2 (Graduate studies in mathematics 19).

Kategorien: Funktionentheorie | Analysis

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