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Hamilton-Funktion


Dieser Artikel behandelt die Hamilton-Funktion in der theoretischen Mechanik. Siehe Hamilton-Funktion (Kontrolltheorie) für die Bedeutung in der Theorie der optimalen Steuerung.

Die Hamilton-Funktion [math]\mathcal H(\mathbf q, \mathbf p, t)[/math] (auch Hamiltonian, nach William Rowan Hamilton) eines Systems von Teilchen ist eine Legendre-Transformierte der Lagrange-Funktion, die, wenn keine rheonomen, also zeitabhängigen, Zwangsbedingungen vorliegen, mit der Gesamtenergie als Funktion der Orte und Impulse der Teilchen korrespondiert. Einfach ausgedrückt:

Die Hamilton-Funktion [math]\mathcal H(q,p,t)[/math] eines Systems von Teilchen ist i. d. R. ihre Energie als Funktion des Phasenraumes. Sie hängt also von den (verallgemeinerten) Ortskoordinaten [math]q=(q_1,q_2\dots q_n)[/math] und von den (verallgemeinerten) Impulskoordinaten [math]p=(p_1,p_2\dots p_n)[/math] der Teilchen ab und kann auch von der Zeit [math]t[/math] abhängen.

Definition

Die Hamilton-Funktion ist definiert durch

[math]\mathcal H(q,p, t) := \left\{\sum_{i=1}^n \dot{q}_i p_i\right\} - \mathcal L(q,p,t), \text{ mit } \dot{q} = \dot{q}(q, p, t)[/math]

und hängt von der Zeit [math]t[/math], den generalisierten Koordinaten [math]q=(q_1,q_2\dots q_n)[/math] und den generalisierten Impulsen [math]p=(p_1,p_2\dots p_n)[/math] ab.

Sie geht aus einer Legendre-Transformation der Lagrange-Funktion [math]\mathcal L(t,q,\dot q)[/math] bezüglich der generalisierten Geschwindigkeiten hervor, die von den generalisierten Koordinaten und ihren Geschwindigkeiten [math]\dot q=(\dot q_1,\dot q_2\dots \dot q_n)[/math] abhängt:

[math]\mathcal H(t,q,p)= \left\{\sum_{i=1}^n \dot q_i\, p_i\right\} - \mathcal L(t, q,\dot q)[/math]

Dabei sind auf der rechten Seite mit den Geschwindigkeiten [math]\dot q[/math] diejenigen Funktionen

[math]\dot q(t,q,p)[/math]

gemeint, die man erhält, wenn man die Definition der generalisierten Impulse

[math]p_i := \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q_i}[/math]

nach den Geschwindigkeiten auflöst.

Eigenschaften

Ableitung

Das totale Differential der Hamilton-Funktion lautet:

[math]d\mathcal H = \sum_{i=1}^n \frac{\partial \mathcal H}{\partial q_i} dq_i + \sum_{i=1}^n \frac{\partial \mathcal H}{\partial p_i} dp_i + \frac{\partial \mathcal H}{\partial t} dt[/math]

Aufgrund der Produktregel erhält man

[math]d\mathcal H = \sum_{i=1}^n \left( p_i d\dot{q}_i + \dot{q}_i dp_i - \frac{\partial \mathcal L}{\partial q_i} dq_i - \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{q}_i} d\dot{q}_i \right) - \frac{\partial \mathcal L}{\partial t} dt,[/math]

wobei wegen der Definition des verallgemeinerten Impulses [math]\frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{q}_i} = p_i[/math] die ersten und letzten Terme in den Klammern die Summe 0 haben, sodass gilt:

[math]d\mathcal H = \sum_{i=1}^n \left(\dot{q}_i dp_i - \frac{\partial \mathcal L}{\partial q_i} dq_i\right) - \frac{\partial \mathcal L}{\partial t} dt[/math]

Mit der obigen Schreibweise des totalen Differentials folgen hieraus die partiellen Ableitungen der Hamilton-Funktion:

[math]\frac{\partial \mathcal H}{\partial p_i} = \dot{q}_i[/math]
[math]\frac{\partial \mathcal H}{\partial q_i} = -\frac{\partial \mathcal L}{\partial q_i} = -\dot{p}_i[/math]
[math]\frac{\partial \mathcal H}{\partial t} = -\frac{\partial \mathcal L}{\partial t}[/math]

Erhaltungsgröße

Die totale Ableitung der Hamilton-Funktion nach der Zeit ist identisch mit der partiellen:

[math]\frac{d\mathcal H}{dt} = \sum_{i=1}^f \left(\frac{\partial \mathcal H}{\partial p_i} \dot{p}_i + \frac{\partial \mathcal H}{\partial q_i} \dot{q}_i\right) + \frac{\partial \mathcal H}{\partial t} = \sum_{i=1}^f \left(\dot{q}_i \dot{p}_i - \dot{p}_i \dot{q}_i\right) + \frac{\partial \mathcal H}{\partial t} = \frac{\partial \mathcal H}{\partial t}[/math]

Wenn die Hamilton-Funktion also nicht explizit von der Zeit [math]t[/math] abhängt, ist der Wert der Hamilton-Funktion eine Erhaltungsgröße.

Implikationen

Die Hamilton-Funktion bestimmt die zeitliche Entwicklung der Teilchenorte und Teilchenimpulse durch die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen

[math]\dot q_k =\frac{\partial \mathcal H}{\partial p_k}\ ,\quad \dot p_k =-\frac{\partial \mathcal H}{\partial q_k}.[/math]

Ebenso bestimmt der Hamiltonoperator die Zeitentwicklung in der Quantenmechanik. Man erhält ihn in vielen Fällen aus der Hamiltonfunktion durch sogenannte kanonische Quantisierung, indem man den algebraischen Ausdruck für [math]\mathcal H(t,q,p)[/math] als Funktion von Operatoren [math]q[/math] und [math]p[/math] liest, die den kanonischen Vertauschungsrelationen genügen.

Beispiele

Massenpunkt

Bei einem Teilchen der Masse [math]m[/math], das sich nichtrelativistisch in einem Potential [math]V[/math] bewegt, setzt sich die Hamilton-Funktion aus kinetischer und potentieller Energie zusammen:

[math]\mathcal H(t,\mathbf q,\mathbf p)=\frac{\mathbf p^2}{2\,m}+V(\mathbf q)[/math]

Für ein relativistisches, freies Teilchen mit der Energie-Impuls-Beziehung

[math]E^2-\mathbf p^2\,c^2=m^2\,c^4[/math]

gilt für die Hamilton-Funktion

[math]\mathcal H(t,\mathbf q,\mathbf p)=\sqrt{m^2\,c^4+ \mathbf p^2\,c^2}.[/math]

Beim freien relativistischen Teilchen mit der Lagrangefunktion

[math]\mathcal L= - m\,c^2 \sqrt{1-\dot{\mathbf q^2}/c^2}[/math]

hängt der generalisierte Impuls [math]p = \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q}[/math] gemäß

[math]\mathbf p=\frac{m \dot{\mathbf q}}{\sqrt{1-\dot{\mathbf q^2}/c^2}}[/math]

von der Geschwindigkeit ab. Umgekehrt ist die Geschwindigkeit daher die Funktion

[math]\dot{\mathbf q}=\frac{\mathbf p\,c^2}{\sqrt{m^2\,c^4+\mathbf p^2\,c^2}}[/math]

des Impulses.

Harmonischer Oszillator

Die Hamilton-Funktion eines eindimensionalen harmonischen Oszillators ist gegeben durch:

[math]\mathcal H (x,p) = \dot{x} p - \mathcal L(x,\dot{x}) = \frac{p^2}{2m} + \frac m2 \omega_0^2 x^2 = T + V = E[/math]

Literatur

  • Herbert Goldstein, Charles P. Poole, Jr., John L. Safko: Klassische Mechanik. 3. Auflage. Wiley-VCH, Weinheim 2006, ISBN 3-527-40589-5.
  • Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 2. Analytische Mechanik. 7. Auflage. Springer, Heidelberg 2006, ISBN 3-540-30660-9.

Kategorien: Theoretische Mechanik

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