Halbnorm - LinkFang.de





Halbnorm


Eine Halbnorm oder Seminorm ist in der Mathematik eine Funktion, die absolut homogen und subadditiv ist. Sie verallgemeinert das Konzept der Norm, indem auf die Eigenschaft der positiven Definitheit verzichtet wird. Jede Halbnorm ist nichtnegativ, symmetrisch bezüglich Vorzeichenumkehr, sublinear und konvex. Aus jeder Halbnorm kann durch Restklassenbildung eine zugehörige Norm abgeleitet werden. Mit Hilfe von Familien von Halbnormen können auch lokalkonvexe Vektorräume definiert werden. Halbnormen werden insbesondere in der linearen Algebra und in der Funktionalanalysis studiert.

Definition

Sei [math]V[/math] ein Vektorraum über dem Körper [math]\mathbb{K} \in \{\R, \C\}[/math]. Eine Halbnorm auf [math]V[/math] ist eine Abbildung [math]p \colon V \to \R_0^{+}[/math] mit den Eigenschaften absolute Homogenität und Subadditivität,[1] das heißt für alle [math]\lambda \in \mathbb{K}[/math] und für alle [math]x,\,y \in V[/math] gelten

[math]p(\lambda x) = |\lambda| p(x)[/math]   (absolute Homogenität)

und

[math]p(x+y) \leq p(x) + p(y)[/math]   (Subadditivität),

wobei [math]|\cdot|[/math] den Betrag des Skalars darstellt. Ein Vektorraum zusammen mit einer Halbnorm heißt halbnormierter Raum [math](V, p)[/math].

Beispiele

  • Jede Norm ist eine Halbnorm, die zudem auch positiv definit ist.
  • Die Nullfunktion [math]p \equiv 0[/math], die jedes Element des Vektorraums auf Null abbildet, ist eine Halbnorm.
  • Der Betrag einer reell- oder komplexwertigen linearen Funktion ist eine Halbnorm.
  • Jede positiv semidefinite symmetrische Bilinearform (im komplexen Fall hermitesche Sesquilinearform) [math]( \cdot, \cdot )[/math] induziert durch [math]p(x) = \sqrt{( x, x )}[/math] eine Halbnorm.
  • Ist [math]X[/math] ein topologischer Raum und [math]K\subset X[/math] kompakt, so ist durch [math]\textstyle p_K(f) := \sup_{x\in K}|f(x)|[/math] eine Halbnorm auf dem Raum aller stetigen Funktionen [math]X \rightarrow \C[/math] gegeben. Hier wird verwendet, dass stetige Funktionen auf kompakten Mengen beschränkt sind und daher das Supremum endlich bleibt.

Eigenschaften

Durch Setzen von [math]\lambda = 0[/math] in der Definition folgt sofort

[math]p(0) = 0[/math],

die Halbnorm des Nullvektors ist damit null. Im Gegensatz zu Normen kann es aber auch Vektoren [math]x \neq 0[/math] geben, deren Halbnorm [math]p(x)=0[/math] ist. Durch Setzen von [math]y = -x[/math] folgt dann aus der Subadditivität (auch Dreiecksungleichung genannt) und der absoluten Homogenität die Nichtnegativität

[math]p(x) \geq 0[/math]

für alle [math]x \in V[/math]. Durch Setzen von [math]\lambda = -1[/math] sieht man weiter, dass eine Halbnorm symmetrisch bezüglich Vorzeichenumkehr ist, das heißt

[math]p(x) = p(-x)[/math]

und aus der Anwendung der Dreiecksungleichung auf [math]x-y+y[/math] folgt daraus dann die umgekehrte Dreiecksungleichung

[math]| p(x) - p(y) | \leq p(x - y)[/math].

Weiter ist eine Halbnorm sublinear, da absolute Homogenität positive Homogenität impliziert, und auch konvex, denn es gilt für reelles [math]0 \leq t \leq 1[/math]

[math]p(tx + (1-t)y) \leq p(tx) + p((1-t)y) = tp(x) + (1-t)p(y)[/math].

Umgekehrt ist jede absolut homogene und konvexe Funktion subadditiv und damit eine Halbnorm, was durch Setzen von [math]t = \tfrac{1}{2}[/math] und Multiplikation mit [math]2[/math] ersichtlich ist.

Restklassenbildung

Aufgrund der absoluten Homogenität und der Subadditivität ist die Menge

[math]Z = \{ x \in V\colon p(x) = 0 \}[/math]

der Vektoren mit Halbnorm null ein Untervektorraum von [math]V[/math]. Daher kann eine Äquivalenzrelation auf [math]V[/math] durch

[math]x \sim y :\Longleftrightarrow x - y \in Z[/math]

definiert werden. Der Vektorraum [math]\tilde{V}[/math] aller Äquivalenzklassen aus obiger Äquivalenzrelation ist zusammen mit der Halbnorm [math]p[/math] ein normierter Raum. Man nennt diesen Vorgang Restklassenbildung in [math]V[/math] bezüglich der Halbnorm und bezeichnet [math]\tilde{V}[/math] als Faktorraum [math]V / Z[/math]. Diese Konstruktion kommt beispielsweise bei der Definition der Lp-Räume zum Einsatz.

Familie von Halbnormen

In der Funktionalanalysis im Bereich der lokalkonvexen Vektorräume werden meistens Familien [math](p_i)_{i \in I}[/math] von Halbnormen betrachtet. Mit diesen kann es möglich sein, auf dem ursprünglichen Vektorraum [math]V[/math] eine Topologie zu definieren, die ihn zu einem topologischen Vektorraum macht. Dazu legt man fest, dass die Menge [math]U \subset V[/math] offen ist, falls für [math]x \in U[/math] ein [math]\epsilon \gt 0[/math] und endlich viele Indizes [math]i_1, \ldots ,i_r[/math] existieren, sodass

[math]p_{i_j}(y) \lt \epsilon,\, j=1, \ldots ,r \Rightarrow x+y \in U[/math]

für alle [math]y\in V[/math] gilt.

In diesem Zusammenhang sind Familien mit einer bestimmten Trennungseigenschaft von besonderem Interesse. Eine Familie von Halbnormen [math](p_i)_{i \in I}[/math] heißt trennend, falls es für jedes [math]x \in V \setminus \{0\}[/math] mindestens eine Halbnorm [math]p_i[/math] gibt, so dass [math]p_i(x) \neq 0[/math] gilt. Ein Vektorraum [math]V[/math] ist nämlich genau dann bezüglich der oben erklärten Topologie hausdorffsch, wenn die Familie von Halbnormen trennend ist. Solch ein topologischer Vektorraum wird lokalkonvexer Vektorraum genannt.[2]

Literatur

Einzelnachweise

  1. Walter Rudin: Functional Analysis. McGraw-Hill, New York 1991, S. 24–25.
  2. Walter Rudin: Functional Analysis. McGraw-Hill, New York 1991, S. 26–27.

Weblinks


Kategorien: Mathematische Funktion

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Halbnorm (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

Änderungen: Alle Bilder mit den meisten Bildunterschriften wurden entfernt. Ebenso alle zu nicht-existierenden Artikeln/Kategorien gehenden internen Wikipedia-Links (Bsp. Portal-Links, Redlinks, Bearbeiten-Links). Entfernung von Navigationsframes, Geo & Normdaten, Mediadateien, gesprochene Versionen, z.T. ID&Class-Namen, Style von Div-Containern, Metadaten, Vorlagen, wie lesenwerte Artikel. Ansonsten sind keine Inhaltsänderungen vorgenommen worden. Weiterhin kann es durch die maschinelle Bearbeitung des Inhalts zu Fehlern gerade in der Darstellung kommen. Darum würden wir jeden Besucher unserer Seite darum bitten uns diese Fehler über den Support mittels einer Nachricht mit Link zu melden. Vielen Dank!

Stand der Informationen: August 201& - Wichtiger Hinweis: Da die Inhalte maschinell von Wikipedia übernommen wurden, ist eine manuelle Überprüfung nicht möglich. Somit garantiert LinkFang.de nicht die Richtigkeit und Aktualität der übernommenen Inhalte. Sollten die Informationen mittlerweile fehlerhaft sein, bitten wir Sie darum uns per Support oder E-Mail zu kontaktieren. Wir werden uns dann innerhalb von spätestens 10 Tagen um Ihr Anliegen kümmern. Auch ohne Anliegen erfolgt mindestens alle drei Monate ein Update der gesamten Inhalte.