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Hölder-Ungleichung


In der mathematischen Analysis gehört die höldersche Ungleichung zusammen mit der Minkowski-Ungleichung und der jensenschen Ungleichung zu den fundamentalen Ungleichungen für Lp-Räume. Sie wurde zuerst von Leonard James Rogers im Jahre 1888 bewiesen, benannt ist sie nach Otto Hölder, der sie ein Jahr später veröffentlichte[1].

Aussage

Höldersche Ungleichung

Gegeben sei ein Maßraum [math] (X, \mathcal A, \mu) [/math] und messbare Funktionen

[math] f,g: X \to \overline {\R} [/math]

Für [math] p \in [1,\infty) [/math] und den Konventionen [math] \infty^p=\infty [/math] und [math] \infty^{-p}=0 [/math] definiert man

[math] H_p(f)=\left(\int_X |f|^p \mathrm d \mu \right)^{\tfrac 1p} [/math]

und

[math] H_\infty(f)= \mathrm{ess} \sup_{x\in X} f(x) [/math]

das wesentliche Supremum. Die Hölder-Ungleichung lautet dann: für [math] 1 \leq p,q \leq \infty [/math] mit [math] \tfrac{1}{p} + \tfrac{1}{q} = 1[/math], wobei [math] \tfrac 1 \infty =0 [/math] vereinbart ist, gilt

[math] H_1(fg)\leq H_p(f) \cdot H_q(g) [/math]

Man bezeichnet [math]q[/math] als den zu [math]p[/math] konjugierten Hölder-Exponenten. Spezieller wird die Ungleichung auch wie folgt formuliert: Ist [math] \mathcal L^p(X, \mathcal A, \mu) [/math] der Raum der p-fach Lebesgue-integrierbaren Funktionen (siehe Lp-Raum) und ist [math] \| \cdot\|_p [/math] die Lp-Norm, so gilt für [math]f \in \mathcal L^p(X, \mathcal A, \mu), g \in \mathcal L^q(X, \mathcal A, \mu) [/math] immer

[math] \|fg\|_1 \leq \|f\|_p \cdot \|g\|_q [/math].

Spezialfälle

Schwarzsche Ungleichung

Wählt man als Maßraum [math] ([a,b], \mathcal B ([a,b]), \lambda ) [/math], also ein reelles Intervall versehen mit dem Lebesgue-Maß und zwei Funktionen [math] f,g \in \mathcal L^2 ([a,b], \mathcal B ([a,b]), \lambda ) [/math], so lautet die Hölder-Ungleichung mit [math] p=q=2 [/math]

[math] \int_a^b |fg| \mathrm d \lambda \leq \left(\int_a^b |f|^2 \mathrm d \lambda \right)^{\tfrac 12}\cdot \left(\int_a^b |g|^2 \mathrm d \lambda \right)^{\tfrac 12}[/math]

Dies ist genau die Schwarzsche Ungleichung beziehungsweise die Integralformulierung der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung.

Cauchy-Ungleichung

Wählt man als Maßraum die endliche Menge [math] \{1,\ldots,n \}[/math], versehen mit der Potenzmenge und ausgestattet mit dem Zählmaß, so erhält man als Spezialfall die Ungleichung

[math]\sum_{k=1}^n |x_k y_k| \leq \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^{1/p} \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^q \right)^{1/q} ,[/math]

gültig für alle reellen (oder komplexen) Zahlen [math]x_1, \ldots, x_n, y_1 , \ldots , y_n[/math]. Für [math]p = q = 2[/math] erhält man die Cauchy-Ungleichung (beziehungsweise die diskrete Formulierung der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung)

[math]| \langle x,y\rangle |\leq \|x\|_2 \cdot \|y\|_2[/math]

Höldersche Ungleichung für Reihen

Wählt man als Grundmenge des Maßraumes die natürlichen Zahlen [math] \N [/math], wieder versehen mit der Potenzmenge und dem Zählmaß, so erhält man die Höldersche Ungleichung für Reihen

[math]\sum_{k=1}^\infty |a_k b_k| \leq \left( \sum_{k=1}^\infty |a_k|^p \right)^{1/p} \left( \sum_{k=1}^\infty |b_k|^q \right)^{1/q} [/math].

für reelle oder komplexe Folgen [math] (a_k)_{k \in \N}, (b_k)_{k \in \N} [/math]. Im Grenzfall [math] q=\infty [/math] entspricht dies

[math]\sum_{k=1}^\infty |a_k b_k| \leq \left( \sum_{k=1}^\infty |a_k| \right) \cdot \sup_{k \in \N} |b_k| [/math].

Verallgemeinerung

Es seien [math]p_j \in [1, \infty], j = 1, \ldots, m[/math] sowie [math]\textstyle \frac{1}{r} := \sum_{j=1}^m\frac{1}{p_j}[/math] und [math] f_j \in L^{p_j}(S)[/math] für alle [math] j =1,\ldots,m[/math].

Dann folgt

[math]\prod_{j=1}^mf_j \in L^r(S)[/math]

und es gilt die Abschätzung

[math]\left\|\prod_{j=1}^mf_j\right\|_r \leq \prod_{j=1}^m\left\|f_j\right\|_{p_j}.[/math]

Umgekehrte höldersche Ungleichung

Es sei [math] g(x) \neq 0[/math] für fast alle [math]x \in S[/math].

Dann gilt für alle [math]r \gt 1[/math] die umgekehrte höldersche Ungleichung

[math]\int_S|f(x)g(x)|dx \geq \left(\int_S|f(x)|^{\frac{1}{r}}dx\right)^r \left(\int_S|g(x)|^{-\frac{1}{r-1}}dx\right)^{-(r-1)}.[/math]

Beweise

Beweis der hölderschen Ungleichung

Für [math]p=1, q=\infty [/math] (und umgekehrt) ist die Aussage der hölderschen Ungleichung trivial. Wir nehmen daher an, dass [math]1 \lt p,q \lt \infty[/math] gilt. Ohne Einschränkung seien [math]\|f\|_p \gt 0[/math] und [math]\|g\|_q \gt 0[/math]. Nach der youngschen Ungleichung gilt:

[math] AB \leq \frac{A^p}{p}+\frac{B^q}{q}[/math]

für alle [math]A,B \geq 0[/math]. Setze hierin speziell [math] A := \tfrac{|f(x)|}{\|f\|_p},\, B := \tfrac{|g(x)|}{\|g\|_q}[/math] ein. Integration liefert

[math] \frac{1}{\|f\|_p\|g\|_q}\int_S|fg| \leq \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1,[/math]

was die höldersche Ungleichung impliziert.

Beweis der Verallgemeinerung

Der Beweis wird per vollständiger Induktion über [math]m[/math] geführt. Der Fall [math]m=1[/math] ist trivial. Sei also nun [math] m \geq 2[/math] und ohne Einschränkung sei [math]p_1 \leq \cdots \leq p_m[/math]. Dann sind zwei Fälle zu unterscheiden:

Fall 1: [math]p_m = \infty.[/math] Dann ist [math]\textstyle \frac{1}{r} = \sum_{j=1}^{m-1}\frac{1}{p_j}.[/math] Nach Induktionsvoraussetzung gilt dann

[math] \|f_1\cdots f_m\|_r \leq \|f_m\|_\infty\|f_1\cdots f_{m-1}\|_r \leq \|f_m\|_\infty\|f_1\|_{p_1}\cdots\|f_{m-1}\|_{p_{m-1}}.[/math]

Fall 2: [math]p_m \lt \infty[/math]. Nach der (üblichen) hölderschen Ungleichung für die Exponenten [math]\tfrac{p_m}{p_m-r}, \tfrac{p_m}{r}[/math] gilt

[math]\int_S|f_1\cdots f_{m-1}|^r|f_m|^r \leq \left(\int_S|f_1\cdots f_{m-1}|^{\frac{rp_m}{p_m-r}}\right)^{\frac{p_m-r}{p_m}}\left(\int_S|f_m|^{p_m}\right)^{\frac{r}{p_m}},[/math]

also [math]\textstyle \|f_1\cdots f_m\|_r \leq \|f_1\cdots f_{m-1}\|_{\tfrac{rp_m}{p_m-r}}\|f_m\|_{p_m}[/math]. Nun ist [math]\textstyle \sum_{j=1}^{m-1}\frac{1}{p_j} = \frac{1}{r} - \frac{1}{p_m} = \frac{p_m-r}{rp_m}[/math]. Aus der Induktionsvoraussetzung ergibt sich somit der Induktionsschritt.

Beweis der umgekehrten hölderschen Ungleichung

Die umgekehrte höldersche Ungleichung ergibt sich aus der (üblichen) hölderschen Ungleichung, indem man als Exponenten [math]p := r[/math] und [math] q := r' = \tfrac{p}{p-1}[/math] wählt. Man erhält damit:

[math] \int_S|f|^{\frac{1}{r}} = \int_S\left(|fg|^{\frac{1}{r}}\cdot|g|^{-\frac{1}{r}}\right) \leq \left(\int_S|fg|\right)^{\frac{1}{r}}\left(\int_S|g|^{-\frac{r'}{r}}\right)^{\frac{1}{r'}}.[/math]

Umformen dieser Ungleichung liefert die umgekehrte höldersche Ungleichung.

Anwendungen

Beweis der Minkowski-Ungleichung

Mit der hölderschen Ungleichung kann man die Minkowski-Ungleichung (das ist die Dreiecksungleichung im [math]L^p[/math]) leicht beweisen.

Interpolationsungleichung für Lebesgue-Funktionen

Seien [math] f \in L^p(S) \cap L^q(S)[/math] und [math]1\leq q\leq r\leq p[/math], dann folgt [math] f \in L^r(S)[/math] und es gilt die Interpolationsungleichung

[math] \|f\|_r \leq \|f\|_p^{1-\theta}\|f\|_q^\theta[/math]

mit [math] \tfrac{1}{r} =: \tfrac{1-\theta}{p} + \tfrac{\theta}{q}[/math] beziehungsweise [math] \theta:= \tfrac{q}{r}\tfrac{p-r}{p-q}[/math] für [math] q \neq p[/math].

Beweis: Ohne Einschränkung sei [math] q \lt r \lt p[/math]. Fixiere [math]t \in (0, 1)[/math] mit [math] r = tp + (1-t)q[/math]. Beachte, dass [math]\tfrac{1}{t}[/math] und [math] \tfrac{1}{1-t}[/math] konjugierte Hölder-Exponenten sind. Aus der hölderschen Ungleichung folgt

[math]\int_S|f|^r = \int_S|f|^{tp}|f|^{(1-t)q} \leq \left(\int_S|f|^p\right)^t\left(\int_S|f|^q\right)^{1-t}[/math].

Potenzieren der Ungleichung mit [math]\tfrac{1}{r}[/math] und Ausrechnen der Exponenten impliziert die Interpolationsungleichung.

Beweis der Faltungsungleichung von Young

Eine weitere typische Anwendung ist der Beweis der verallgemeinerten youngschen Ungleichung (für Faltungsintegrale)

[math]\|f \star g\|_r \leq \|f\|_p\|g\|_q[/math]

für [math]\tfrac{1}{p} + \tfrac{1}{q} = 1 + \tfrac{1}{r}[/math] und [math]p, q, r \geq 1[/math].

Literatur

Einzelnachweise

  1. Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2009, S. 277.

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