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Hölder-Mittel


In der Mathematik ist das Hölder-Mittel, der Höldersche Mittelwert (nach Otto Hölder, 1859–1937) oder das Potenzmittel (engl. u. A. (p-th) power mean) ein (manchmal auch der) verallgemeinerter Mittelwert. Die Bezeichnung ist uneinheitlich, Bezeichnungen wie das [math]p[/math]-te Mittel, Mittel der Ordnung oder vom Grad oder mit Exponent [math]p[/math] sind auch im Umlauf. Im Englischen wird es auch als generalized mean bezeichnet.

Ebenso uneinheitlich sind die Schreibweisen, statt [math]H_p[/math] wird auch [math]M_p(x)[/math], [math]m_p(x)[/math] oder [math]\mu_p(x)[/math] geschrieben.

Das Hölder-Mittel verallgemeinert die seit den Pythagoreern bekannten Mittelwerte wie das arithmetische, geometrische, quadratische und harmonische Mittel durch Einführung eines Parameters [math]p.[/math]

Definition

Für eine reelle Zahl [math]p\neq 0[/math] wird das Hölder-Mittel der Zahlen [math]x_1,\ldots,x_n\geq 0[/math] zur Stufe [math]p[/math] definiert als

[math]M_p(x_1,\dots,x_n) = \left( \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^n x_{i}^p \right)^{1/p} = \sqrt[p]{\frac{x_1^p+x_2^p+\ldots+x_n^p}n}[/math],

wobei die Wurzelschreibweise üblicherweise nur für natürliche Zahlen [math]p[/math] verwendet wird.

Eine dazu passende Definition für [math]p = 0[/math] ist

[math]M_0(x_1,\ldots,x_n):=\lim_{s\to 0}M_s(x_1,\ldots,x_n).[/math]

Eigenschaften

  • Das Hölder-Mittel ist homogen bezüglich [math]x_1\ldots,x_n[/math], das heißt
[math]M_p(\alpha\, x_1,\ldots,\alpha\, x_n)=\alpha\cdot M_p(x_1,\ldots,x_n)[/math]
  • Außerdem gilt
[math]M_p(x_1,\dots,x_{n\cdot k}) = M_p(M_p(x_1,\dots,x_{k}), M_p(x_{k+1},\dots,x_{2\cdot k}), \dots, M_p(x_{(n-1)\cdot k + 1},\dots,x_{n\cdot k}))[/math]
  • Eine wichtige Ungleichung zu den Hölder-Mitteln ist
[math]p\ltq \quad \Rightarrow \quad M_p(x_1,\ldots,x_n)\le M_q(x_1,\ldots,x_n)[/math]
Daraus folgt etwa (Spezialfälle) die Ungleichung der Mittelwerte
[math]\min(x_1,\ldots,x_n)\le\bar x_{\mathrm{harm}}\le\bar x_{\mathrm{geom}}\le\bar x_{\mathrm{arithm}}\le\bar x_{\mathrm{quadr}}\le\max(x_1,\ldots,x_n)[/math]
  • Die Potenzmittelwerte stehen mit den Stichprobenmomenten [math]m_p[/math] um Null recht einfach in Beziehung:
[math]\bar{x}(p)=\sqrt[p]{m_p}[/math]

Spezialfälle

Mittels Wahl eines geeigneten Parameters [math]p[/math] ergeben sich die bekannten Mittelwerte:

[math]\lim_{p\to-\infty}[/math] [math]M_p(x_1,\dots,x_n)[/math] [math]= \min \{x_1,\dots,x_n\}[/math] Minimum
[math]M_{-1}(x_1,\dots,x_n)[/math] [math]=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\dots+\frac{1}{x_n}}[/math] Harmonisches Mittel
[math]\lim_{p\to 0}[/math] [math]M_p(x_1,\dots,x_n)[/math] [math]=\sqrt[n]{x_1\cdot\dots\cdot x_n}[/math] Geometrisches Mittel
[math]M_1(x_1,\dots,x_n)[/math] [math]=\frac{x_1 + \dots + x_n}{n}[/math] Arithmetisches Mittel
[math]M_2(x_1,\dots,x_n)[/math] [math]=\sqrt{\frac{x_1^2 + \dots + x_n^2}{n}}[/math] Quadratisches Mittel
[math]M_3(x_1,\dots,x_n)[/math] [math]=\sqrt[3]{\frac{x_1^3 + \dots + x_n^3}{n}}[/math] Kubisches Mittel
[math]\lim_{p\to\infty}[/math] [math]M_p(x_1,\dots,x_n)[/math] [math]=\max \{x_1,\dots,x_n\}[/math] Maximum

Weitere Verallgemeinerungen

Gewichtetes Hölder-Mittel

Auch zu dem Hölder-Mittel lässt sich ein Gewichtetes Mittel definieren: Das gewichtete Hölder-Mittel lässt sich mit den Gewichten [math]\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_n[/math] mit [math]\omega_1+\omega_2+\ldots+\omega_n=1[/math] definieren als

[math]{M_\omega}^p=\left(\omega_1\cdot x_1^p+\omega_2\cdot x_2^p+\ldots+\omega_n\cdot x_n^p\right)^{1/p},[/math]

wobei für das "normale" Hölder-Mittel [math]\omega_1=\omega_2=\ldots=\omega_n=\tfrac1n[/math] verwendet wird.

f-Mittel

Vergleiche Quasi-arithmetisches Mittel

Das Hölder-Mittel lässt sich weiter verallgemeinern zu

[math] M_f(x_1,\dots,x_n) = f^{-1} \left({\frac{1}{n}\cdot\sum_{i=1}^n{f(x_i)}}\right) [/math]

Dabei ist [math]f[/math] eine Funktion von [math]x[/math]; das Hölder-Mittel verwendet [math]\, f(x)=x^p[/math].

Siehe auch

Literatur

Weblinks


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Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Hölder-Mittel (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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