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Gleichseitiges Dreieck


Ein gleichseitiges Dreieck ist ein Dreieck, dessen drei Seiten alle gleich lang sind. Dann sind – beim Dreieck – auch alle drei Winkel gleich groß und betragen 60°. Gleichseitige Dreiecke sind also zugleich gleichwinklige oder reguläre Dreiecke, sie werden auch regelmäßige Dreiecke genannt. Alle gleichseitigen Dreiecke sind einander ähnlich. Gleichseitige Dreiecke sind rotationssymmetrisch (gegenüber Rotationen um den Mittelpunkt um 120° oder Vielfache davon), spiegelsymmetrisch (bzgl. der Mittelsenkrechten) und spitzwinklig. Ihre Isometriegruppe ist die Diedergruppe [math]D_3[/math]. Die Ebene ist mit gleichseitigen Dreiecken pflasterbar.

Berechnung und Konstruktion

Ein gleichseitiges Dreieck ist durch eine Seitenlänge vollständig bestimmt (siehe Kongruenzsatz).

Formeln zum gleichseitigen Dreieck
Seitenlängen [math] a = b = c \,[/math]
Winkel [math] \alpha = \beta = \gamma = 60^\circ [/math]
Höhe [math] h=\frac{\sqrt{3}}{2}a [/math]
Flächeninhalt [math] A \, = \, \frac{a^2\sqrt{3}}{4} [/math]
Umfang [math] u \, = \, 3 \cdot a [/math]
Umkreisradius [math] r_U \, = \, \frac{\sqrt{3}}{3}a [/math]
Inkreisradius [math] r_I \, = \, \frac{\sqrt{3}}{6}a = \frac 1 2 \cdot r_U [/math]

Die Konstruktion eines gleichseitigen Dreiecks mit Zirkel und Lineal ist oft einfach. Ist die Seitenlänge bzw. eine Seite als Strecke vorgegeben, so zeichnet man um die beiden Endpunkte der Strecke jeweils einen Kreis, dessen Radius die Strecke selbst ist. Jeder der beiden Schnittpunkte der Kreise bildet mit den Endpunkten der vorgegeben Strecke ein gleichseitiges Dreieck. Ist stattdessen der Umkreis des gleichseitigen Dreiecks vorgegeben, so konstruiert man zunächst ein Achsenkreuz im Mittelpunkt des Kreises. Die vertikale Achse besitzt dann mit dem Umkreis die Schnittpunkte C und D. Anschließend wird ein Kreisbogen mit dem Radius des Umkreises um den Punkt D gezeichnet. Auf dem Umkreis ergeben sich damit die Schnittpunkte A und B. Werden nun die Punkte A und B mit einer geraden Linie verbunden, entsteht die erste Seite des gesuchten gleichseitigen Dreiecks ABC[1].

Ausgezeichnete Punkte

Im gleichseitigen Dreieck fallen Höhe, Mittelsenkrechte (Seitensymmetrale), Seitenhalbierende (Schwerelinie) und Winkelhalbierende zu einer Seite jeweils zusammen. Daher sind auch der Höhenschnittpunkt, der Umkreismittelpunkt, der Schwerpunkt und der Inkreismittelpunkt derselbe Punkt. Dieser Mittelpunkt teilt die Strecken im Verhältnis 2:1.

Begriffsgeschichte

Nach Euklid wurde ein gleichschenkliges Dreieck dadurch definiert, dass es genau zwei gleich lange Seiten besitzt, wohingegen es heute überwiegend als ein Dreieck mit mindestens zwei gleich langen Seiten definiert wird. Die moderne Definition schließt damit im Gegensatz zu der des Euklid das gleichseitige Dreieck (mit drei gleich langen Seiten) als einen Spezialfall des gleichschenkligen Dreiecks ein.[2]

Siehe auch

Weblinks

Einzelnachweise

  1. Johannes Kepler: WELT-HARMONIK. XXXVIII. Satz., Seiten des Dreiecks ..., Seite 37. In: Google Books. R. OLDENBURG VERLAG 2006, übersetzt und eingeleitet von MAX CASPAR 1939, S. 401, abgerufen am 23. Januar 2016.
  2. Saul Stahl: Geometry from Euclid to Knots. Prentice-Hall, 2003, ISBN 0-13-032927-4, S. 37 (Auszug (Google) )

Kategorien: Dreiecksgeometrie | Dreieck

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Gleichseitiges Dreieck (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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