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Gleichschenkliges Dreieck


Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten. Folglich sind auch die beiden Winkel gleich groß, die den gleich langen Seiten gegenüberliegen. Zur vollständigen Bestimmung werden zwei Bestimmungsstücke benötigt, davon zumindest eine Seite.

Die beiden gleich langen Seiten heißen Schenkel, die dritte Seite heißt Basis. Der der Basis gegenüberliegende Eckpunkt heißt Spitze. Die an die Basis anliegenden Winkel heißen Basiswinkel.

Jedes gleichschenklige Dreieck ist achsensymmetrisch. Es kann spitzwinklig, rechtwinklig oder stumpfwinklig sein.

Berechnung und Konstruktion

Formeln des gleichschenkligen Dreiecks

Seitenlängen [math] a = b [/math]

[math] c^2 = 2a^2(1-\cos(\gamma)) [/math]

[math] c = 2a\cdot \sin\left(\frac{\gamma}{2}\right) [/math]

Winkel [math]\alpha = \beta, \,\gamma = 180^\circ -2 \alpha [/math]
[math]\gamma = \arccos \left( 1- \frac{c^2}{2a^2}\right)[/math]

[math] \gamma = 2\arcsin\left(\frac{c}{2a}\right) [/math]

Flächeninhalt [math]A \, = \, \frac{c}{2}\sqrt{a^2-\frac{c^2}{4}} [/math] oder [math] A \, = \, \frac{1}{2}\,c\cdot h_c[/math]
Umfang [math] u \, = \, 2a + c [/math]

Basiswinkelsatz

Der Basiswinkelsatz besagt, dass in einem gleichschenkligen Dreieck die beiden Basiswinkel, also die Winkel, die den gleich langen Seiten gegenüberliegen, gleich groß sind. Umgekehrt gilt auch: Sind in einem Dreieck zwei Winkel gleich groß, so sind auch die beiden gegenüberliegenden Seiten gleich lang.

In der Literatur findet man den Basiswinkelsatz auch unter dem Namen Eselsbrücke (lateinisch pons asinorum).[1]

Zwei Seiten

Im gleichschenkligen Dreieck ist durch zwei unterschiedlich lange Seiten sofort die dritte mitbestimmt, wenn man weiß, welche der Seiten die Basis ist. Dadurch ergibt sich ein SSS-Fall. Die Winkel können mit Hilfe des Kosinussatzes berechnet werden.

Eine Seite und ein Winkel

Ist ein Winkel gegeben, so lassen sich aus der Beziehung

[math] \textstyle 2\alpha+\gamma=180^\circ[/math]

sofort alle übrigen Winkel berechnen. Dadurch kann man das Dreieck nach dem WSW-Fall behandeln. Die fehlenden Seiten können mit dem Sinussatz berechnet werden.

Ausgezeichnete Punkte

Gleichschenklige Dreiecke sind achsensymmetrisch. Die Symmetrieachse stimmt mit der Höhe, der Mittelsenkrechten (Streckensymmetrale) und der Seitenhalbierenden (Schwerlinie) der Basis und mit der Winkelhalbierenden (Winkelsymmetrale) des Winkels an der Spitze überein. Der Höhenschnittpunkt, der Umkreismittelpunkt, der Schwerpunkt und der Inkreismittelpunkt liegen auf dieser Symmetrieachse.

In einem gleichschenkligen Dreieck, das nicht gleichseitig ist, stimmt die eulersche Gerade also mit der Symmetrieachse überein.

Gleichschenkliges Dreieck mit
  • Symmetrieachse
  • Mittelsenkrechte und Umkreismittelpunkt
  • Seitenhalbierende und Schwerpunkt
  • Winkelhalbierende und Inkreismittelpunkt

Siehe auch: Ausgezeichnete Punkte im Dreieck

Begriffsgeschichte

Nach Euklid wurde ein gleichschenkliges Dreieck dadurch definiert, dass es genau zwei gleich lange Seiten besitzt, wohingegen es heute überwiegend als ein Dreieck mit mindestens zwei gleich langen Seiten definiert wird. Die moderne Definition schließt damit im Gegensatz zu der des Euklid das gleichseitige Dreieck (mit drei gleich langen Seiten) als einen Spezialfall des gleichschenkligen Dreiecks ein.[2]

Siehe auch

Literatur

  • H. S. M. Coxeter: Unvergängliche Geometrie. Birkhäuser, Basel [u. a.] 1963 (Deutsche Übersetzung von: Introduction to Geometry. Wiley, 1961).

Weblinks

 Commons: Gleichschenkliges Dreieck  – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise

  1. Siehe Coxeter: Unvergängliche Geometrie. S. 19.: „Der Name Eselsbrücke (pons asinorum) für diesen berühmten Satz stammt vermutlich von der einer Brücke ähnlichen Gestalt der Figur in Euklid (I, 5 Fig. 5 …) und von der Bemerkung, daß einer, der eine solche Brücke nicht überqueren kann, ein Esel sei …“.
  2. Saul Stahl: Geometry from Euclid to Knots. Prentice-Hall, 2003, ISBN 0-13-032927-4, S. 37 (Auszug (Google) )

Kategorien: Dreiecksgeometrie | Dreieck

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Gleichschenkliges Dreieck (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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