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Gibbssches Phänomen


Als Gibbs'sches Phänomen bezeichnet man in der Mathematik das Verhalten, dass bei Fourierreihen und der Fourier-Transformation von stückweise stetigen, differenzierbaren Funktionen in der Umgebung von Sprungstellen so genannte Überschwingungen auftreten. Diese Überschwingungen verschwinden auch dann nicht, wenn die endliche Anzahl Terme zur Approximierung bzw. die Bandbreite auf beliebig hohe, aber endliche Werte erhöht wird, sondern weisen in der maximalen Auslenkung eine konstante, relative Auslenkung von ca. 9 % auf.[1]

Der Effekt wurde nach dem amerikanischen Physiker Josiah Willard Gibbs benannt, welcher sich um 1898 mit der Analyse von Kippschwingungen beschäftigte. Die Bezeichnung stammt von dem Mathematiker Maxime Bôcher, welcher 1906 die praktisch motivierten Arbeiten von Gibbs mathematisch korrekt ausformulierte. Erste Arbeiten zu dem Effekt datieren allerdings auf den 50 Jahre früher tätigen englischen Mathematiker Henry Wilbraham (1825–1883), dessen 1848 publizierte Arbeit zu der Zeit aber keine weitere Beachtung fand.[2]

Das Gibbs'sche Phänomen ist im Bereich der Signalverarbeitung einer von mehreren Effekten, welche auch als Ringing bezeichnet werden.[3] Das spezifische Gibbs'sche Phänomen sollte nicht mit dem allgemeinen Überschwingen von Signalen verwechselt werden.

Beschreibung

Entwickelt man eine Fourierreihe aus einer unstetigen, periodischen Funktion, wie beispielsweise die Rechteckfunktion, so ergeben sich an den Unstetigkeitsstellen typische Über- und Unterschwinger, die sich auch dann nicht verringern, wenn man versucht, die Funktion durch weitere Summenglieder anzunähern wie in den Darstellungen mit 5, 25 und 125 Oberschwingungen dargestellt. Dabei ist erkennbar, dass zwar die Frequenz der Überschwingung zunimmt und die Dauer abnimmt, die maximale Auslenkung der Überschwingung kurz vor bzw. nach der Sprungstelle bleibt aber konstant.

Analog tritt das Gibbssche Phänomen auch bei Fourier-Transformation an Sprungstellen auf, wobei dabei die zu approximierende Funktion nicht periodisch sein muss.

Physikalisch liegt die Bedeutung darin, dass jedes real existierende System auch die Eigenschaft eines Tiefpasses aufweist und ein Signal in seiner Bandbreite limitiert. Sprungstellen, welche „unendlich viele“ Frequenzanteile aufweisen, können in realen Systemen nicht auftreten.

Berechnung

Die relative Höhe des Überschwingers in einer Richtung, bezogen auf die Sprunghöhe, lässt sich im Grenzwert unendlich vieler Fourier-Summenglieder bestimmen zu:

[math]\frac{1}{\pi}\int_0^\pi \frac{\sin t}{t}\, \mathrm dt - \frac{1}{2} \approx 0{,}08949[/math]

womit sich ein prozentualer Fehler von etwa 9 % der Sprunghöhe ergibt. Der Ausdruck im Integral wird auch als Kardinalsinus oder als si-Funktion bezeichnet. Der Wert des Integrals

[math]\int_0^\pi \frac{\sin t}{t}\ \mathrm dt = (1{,}851937052\dots) = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot (0{,}089490\dots)[/math]

wird als Wilbraham–Gibbs-Konstante bezeichnet.

Literatur

  • Edwin Hewitt, Robert E. Hewitt The Gibbs-Wilbraham phenomenon: an episode in fourier analysis, Archive History Exact Sciences, Band 21, 1979, S. 129-160
  • Fernando Puente León, Uwe Kiencke, Holger Jäkel: Signale und Systeme. 5. Auflage. Oldenbourg, 2011, ISBN 978-3-486-59748-6.

Weblinks

Einzelnachweise

  1. H S Carslaw: Introduction to the theory of Fourier's series and integrals. , Third Edition, Dover Publications Inc., New York 1930.
  2. Edwin Hewitt, Hewitt, Robert E.: The Gibbs-Wilbraham phenomenon: An episode in fourier analysis. In: Archive for History of Exact Sciences. 21, Nr. 2, 1979, S. 129-160. doi:10.1007/BF00330404 ..
  3. Eric Weisstein: Gibbs Phenomenon . In: MathWorld (englisch).

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