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Geometrische Folge


Eine geometrische Folge ist eine regelmäßige mathematische Zahlenfolge mit der Eigenschaft, dass der Quotient zweier benachbarter Folgenglieder konstant ist.

Namensherkunft

Die Bezeichnung „geometrische Folge“ leitet sich aus dem geometrischen Mittel ab. Jedes Glied einer geometrischen Folge ist nämlich das geometrische Mittel seiner Nachbarglieder.

Die Summierung der Folgenglieder ergibt die geometrische Reihe.

Mathematische Formulierung

Das [math]i[/math]-te Glied [math]a_i[/math] einer geometrischen Folge mit dem Quotienten [math]q[/math] berechnet sich aus der Formel[1]

[math]a_i = a_1 \cdot \,q^{i-1}[/math],

wenn das Anfangsglied mit [math]a_1[/math] bezeichnet wird, oder

[math]a_i = a_0 \cdot \,q^{i}[/math],

wenn das Anfangsglied mit [math]a_0[/math] bezeichnet wird.

Die Glieder einer geometrischen Folge lassen sich auch aus dem jeweils vorhergehenden Glied berechnen, dazu dient die folgende rekursive Formel:

[math] a_{i+1} =a_i \cdot q [/math].

Zahlenbeispiele

Beispiel 1

Die Glieder der geometrischen Folge mit dem Anfangsglied [math]a_0=5[/math] und dem Quotienten [math] q=3 [/math] sind

[math] a_0=5,\ a_1=15,\ a_2=45,\ a_3=135,\ \dots [/math]

wenn man die Glieder einfach hintereinander schreibt ergibt sich

[math] 5,\ 15,\ 45,\ 135,\ 405,\ 1215,\ 3645,\ 10935,\ 32805,\ \dots [/math]

Beispiel 2

Die Glieder der geometrischen Folge mit dem Anfangsglied [math]a_0=1[/math] und dem Quotienten [math]q=-\frac{1}{2}[/math] sind

[math] a_0=1,\ a_1=-\frac{1}{2},\ a_2=\frac{1}{4},\ a_3=-\frac{1}{8},\ \dots [/math]

wenn man die Glieder einfach hintereinander schreibt ergibt sich

[math] +1,\ -\frac{1}{2},\ +\frac{1}{4},\ -\frac{1}{8},\ +\frac{1}{16} ,\ -\frac{1}{32},\ +\frac{1}{64},\ -\frac{1}{128},\ +\frac{1}{256},\ \dots [/math]

Anwendungsbeispiele

Die geometrische Folge beschreibt Wachstumsprozesse, bei denen sich die Messgröße zum Zeitpunkt [math]n+1[/math] aus der Messgröße zum Zeitpunkt [math]n[/math] durch Multiplikation mit einem konstanten Faktor [math]q[/math] ergibt. Beispiele:

Zinseszins

Hauptartikel: Zinseszins

Bei einem Zinssatz von 5 Prozent vermehrt sich das Kapital jedes Jahr um den Faktor 1,05. Es handelt sich also um eine geometrische Folge mit dem Verhältnis [math]q = 1{,}05[/math]. Die Zahl [math]q[/math] heißt hier Zinsfaktor. Bei einem Startkapital von 1000 Euro ergibt sich

  • nach einem Jahr ein Kapital von
[math]1000\;\mathrm{Euro} \cdot 1{,}05 = 1050 \;\mathrm{Euro}, [/math]
  • nach zwei Jahren ein Kapital von
[math]1000\;\mathrm{Euro} \cdot 1{,}05^2= 1102{,}50 \;\mathrm{Euro}, [/math]
  • nach drei Jahren ein Kapital
[math]1000\;\mathrm{Euro} \cdot 1{,}05^3= 1157{,}63 \;\mathrm{Euro} [/math]

und so weiter.

Gleichstufige Stimmung

Hauptartikel: Gleichstufige Stimmung

Es gibt mehrere Arten, wie ein Musikinstrument gestimmt werden kann. Eine davon ist die gleichstufige Stimmung. Bei ihr ist das Frequenzverhältnis zwischen zwei benachbarten Tönen immer konstant. Bei zwölf Tönen in der Oktave lautet die Folge hier:

[math] f(i) = a_0 \cdot \left(\sqrt[12]{2}\,\right) ^i [/math],

wobei [math]a_0[/math] beispielsweise die Frequenz des Kammertons, und [math]i[/math] die Halbtonschrittentfernung zum Kammerton ist. [math]f(i)[/math] ist dann die Frequenz des gesuchten Tones mit Halbtonabstand [math]i[/math] zum "Ursprungston" [math]a_0[/math].

Der Wachstumsfaktor ist also [math]q = \sqrt[12]{2}[/math].

Siehe auch

Weblinks

Quellenverzeichnis

  1. Folgen und Reihen . Abgerufen am 14. März 2010.

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Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische Folge (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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