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Gegeninduktion

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Die Gegeninduktion oder induktive Kopplung ist die gegenseitige magnetische Beeinflussung zweier oder mehrerer räumlich benachbarter elektrischer Stromkreise durch den magnetischen Fluss Φ zufolge der elektromagnetischen Induktion. Die Gegeninduktion ist Grundlage vieler technischer Geräte, das wichtigste ist dabei der Transformator. In anderen Fällen kann sie ein unerwünschter Effekt sein, wie im Bereich der elektromagnetischen Verträglichkeit.

Verwandte Kopplungsarten stellen in diesem Zusammenhang die kapazitive Kopplung, galvanische Kopplung und die Strahlungskopplung dar.

Prinzip

Eine stromdurchsetzte (erste) Leiterschleife bewirkt, abhängig von ihrer Geometrie, die Erzeugung einer magnetischen Flussdichte B in ihrer räumlichen Umgebung. Diese ist aufgrund des Biot-Savart-Gesetzes direkt proportional zum Momentanwert der Stromstärke:

[math]\vec B(\vec r) \propto i_1[/math]

Der magnetische Fluss Φ2, der die Schleife 2 mit der Fläche [math]A[/math] durchflutet, berechnet sich als

[math]\Phi_2 = \int_ {A} \vec B(\vec r) \cdot \mathrm{d} \vec A[/math],

was der Summe aller Skalarprodukte aller infinitesimal kleinen Flächenvektoren [math]\mathrm{d} \vec A[/math] mit den magnetischen Flussdichtevektoren [math]\vec B[/math], die diese Flächenstücke [math]\mathrm{d} \vec A[/math] durchsetzen, entspricht.

Doch die eigentliche Erkenntnis von Faraday im Induktionsgesetz war, dass nicht der Fluss [math]\Phi [/math] sondern die zeitliche Veränderung für die Induktion verantwortlich ist. Somit lässt sich für die Gegeninduktivität [math]M[/math] (auch als „Koppelinduktivität“ bezeichnet) analog zur Selbstinduktion [math]L[/math] folgende Gleichung herleiten:

[math] \frac{\mathrm{d} \Phi_2}{\mathrm{d}t} = M_{21}\cdot \frac{\mathrm{d} i_1}{\mathrm{d}t}[/math]

Aufgrund dieser Definition kann die Gegeninduktivität als Verallgemeinerung der Selbstinduktivität angesehen werden. Sie wird, wie diese, in der SI-Einheit Henry [H] angegeben.

Symmetrie

Eine wesentliche Eigenschaft ist die Symmetrie der Flussverkettungen: Die Gegeninduktivität vom System 1 auf System 2 ist gleich groß wie für den umgekehrten Fall:

[math]M_{21} = M_{12} \quad[/math]

Diese Beziehung erleichtert in vielen Fällen die praktische Berechnung von Flussverkettungen. So kann beispielsweise leicht ein Ausdruck für die Flussverkettung einer langen Spule mit einer kleineren, konzentrisch angebrachten Empfängerspule berechnet werden. Der umgekehrte Fall, nämlich die Verkettung des Flusses der kleinen mit der großen Spule würde ohne Kenntnis der obigen Relation vermutlich auf erhebliche analytische Schwierigkeiten stoßen. Die beschriebene Symmetrie, welche auch als magnetisches Reziprozitätstheorem bezeichnet wird, kann mit den mathematischen Mitteln der Vektoranalysis unter Zuhilfenahme der Maxwell-Gleichungen bewiesen werden.

Beweis der magnetischen Reziprozität

Das Magnetfeld B kann als Rotation eines Vektorpotentials ausgedrückt werden:

[math]\vec B = \vec \nabla \times \vec A[/math]

Der magnetische Fluss durch die zweite Leiterschleife wird dann ([math]\mathrm{d} \vec a[/math] bezeichnet ein infinitesimales Flächenelement)

[math]\Phi_2 =\int_{L_2} \vec B \cdot \mathrm{d} \vec a = \int_{L_2} \big( \vec \nabla \times \vec A \big) \cdot \mathrm{d} \vec a = \int_{L_2} \vec A \cdot \mathrm{d} \vec s_2[/math]

Nun kann aber das Vektorpotential [math]A[/math] auf das Linienintegral des Stroms [math]i[/math] in der ersten Leiterschleife zurückgeführt werden (dies ist eine andere Schreibweise für das Biot-Savart-Gesetz):

[math]\vec A(\vec r) = \frac{\mu_0 i}{4\pi} \int_{L_1} \frac{\mathrm{d} \vec s_1}{\vert \vec r - \vec x_1 \vert}[/math]

Dies eingesetzt in die vorletzte Gleichung, ergibt:

[math]\Phi_2 = \frac{\mu_0 i}{4\pi} \int_{L_1}\int_{L_2} \frac{\mathrm{d} \vec s_1 \cdot \mathrm{d} \vec s_2 }{\vert \vec x_2 - \vec x_1 \vert}[/math]

[math]M[/math] wird daher

[math]M_{12} = \frac{\mu_0}{4\pi} \int_{L_1}\int_{L_2} \frac{\mathrm{d} \vec s_1 \cdot \mathrm{d} \vec s_2 }{\vert \vec x_2 - \vec x_1 \vert} = \frac{\mu_0}{4\pi} \int_{L_2}\int_{L_1} \frac{\mathrm{d} \vec s_2 \cdot \mathrm{d} \vec s_1 }{\vert \vec x_1 - \vec x_2 \vert} = M_{21}[/math]

Anwendung

Im Anwendungsbereich der Elektromagnetischen Verträglichkeit (EMV) wird die Gegeninduktivität auch als magnetische Kopplung oder als induktive Kopplung bezeichnet und beschreibt die, im Regelfall unerwünschte, magnetische Kopplung benachbarter elektrischer Stromkreise. Der vom Strom in einem Stromkreis verursachte magnetische Fluss, wie in nebenstehender Schaltskizze beispielsweise der Stromkreis bestehend aus der Wechselspannungsquelle U1, verursacht durch magnetische Kopplung in den zweiten Stromkreis, dargestellt mit der Wechselspannungsquelle U2, eine zusätzliche induzierte Quellenspannung, welche in diesem Stromkreis als unerwünschte Störung auftreten kann.

Die Modellierung kann dabei je nach Zweckmäßigkeit als Feldmodell (A) mit dem veränderlichen magnetischen Feld, oder dazu gleichwertig im Bereich der Netzwerktheorie mit Hilfe der Gegeninduktivität Ms erfolgen, wie es in der rechten Abbildung im Fall (B) dargestellt ist. Die gegeninduzierte Spannung [math]Ug_{2}[/math] in die zweite Leiterschleife, welche durch den Strom [math]i_1[/math] aus der ersten Leiterschleife bedingt ist, beträgt:

[math]Ug_{2} = M_{s} \cdot \frac{\mathrm{d} i_1}{\mathrm{d}t}[/math]

Aufgrund der Symmetrie ist eine Gegeninduktivität Ms ein reziproker Vierpol.

Durch die höhere Energiedichte des magnetischen Feldes im Vergleich zu dem elektrischen Feld kann mittels induktiver Kopplung auch eine relativ hohe Leistungsübertragung bei mittleren Frequenzen erreicht werden. Dieser Umstand wird bei Transformatoren oder auch elektrischen Antrieben wie dem Spaltmotor ausgenutzt.

Im Bereich der Nachrichtenübertragung wird die induktive Kopplung im Rahmen der induktiven Übertragung ausgenutzt, beispielsweise bei der kontaktlosen Signalübertragung eines Sensorsignals zwischen Sensor und Anzeigegerät oder Kontaktlosen Chipkarten, den sogenannten RFID.

Fachliteratur

  • Pascal Leuchtmann: Einführung in die elektromagnetische Feldtheorie. Pearson Studium, 2005, ISBN 3-8273-7144-9.
  • Horst Stöcker: Taschenbuch der Physik. 6. Auflage. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2010, ISBN 978-3-8171-1860-1.
  • Günter Springer: Fachkunde Elektrotechnik. 18. Auflage. Europa-Lehrmittel, Wuppertal 1989, ISBN 3-8085-3018-9.

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