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Gammaverteilung


Die Gammaverteilung ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung über der Menge der positiven reellen Zahlen. Sie ist einerseits eine direkte Verallgemeinerung der Exponentialverteilung und andererseits eine Verallgemeinerung der Erlang-Verteilung für nichtganzzahlige Parameter. Wie diese wird sie verwendet

Definition

Die Gammaverteilung [math]\gamma(p,\, b)[/math] ist durch die Wahrscheinlichkeitsdichte
[math]f(x)=\begin{cases} \frac{\displaystyle b^p}{\displaystyle\Gamma(p)}x^{p-1}e^{-bx} & x \gt 0 \\ 0 & x \leq 0 \end{cases}[/math]

definiert. Sie besitzt die reellen Parameter [math]b[/math] und [math]p[/math]. Um ihre Normierbarkeit zu garantieren, wird [math]b\gt0[/math] und [math]p\gt0[/math] gefordert.

Der Vorfaktor [math]b^p/\Gamma(p)[/math] dient der korrekten Normierung; der Ausdruck [math]\Gamma(p)[/math] steht für den Funktionswert der Gammafunktion, nach der die Verteilung auch benannt ist.

Die Gammaverteilung genügt damit der Verteilungsfunktion
[math]F(x)=\begin{cases} P(p,b x) & x \geq 0 \\ 0 & x \lt 0 \end{cases}[/math],

wobei [math]P(p,\,b x)[/math] die regularisierte Gammafunktion der oberen Grenze ist.

Alternative Parametrisierung

Alternativ zur obigen, im deutschsprachigen Raum üblichen Parametrisierung mit [math]p[/math] und [math]b[/math] findet man auch häufig

[math](\alpha=p, \beta=b)[/math] oder [math]\left(k=p, \theta=\frac{1}{b}\right).[/math]

[math]\beta=b[/math] ist die Umkehrung eines Skalierparameters und [math]\theta=1/b[/math] ist der Skalierparameter selbst. Dichte und Momente ändern sich dementsprechend bei diesen Parametrisierungen (der Erwartungswert wäre hier beispielsweise [math] \alpha/\beta[/math] beziehungsweise [math]k\theta[/math]). Da diese Parametrisierungen im angelsächsischen Raum vorherrschen, werden sie besonders häufig in der Fachliteratur verwendet. Um Missverständnissen vorzubeugen, wird empfohlen, die Momente explizit anzugeben, also beispielsweise von einer Gammaverteilung mit Erwartungswert [math]p/b[/math] und Varianz [math]p/b^2[/math] zu sprechen. Hieraus sind dann Parametrisierung und die entsprechenden Parameterwerte eindeutig rekonstruierbar.

Eigenschaften

Die Dichte [math]f[/math] besitzt für [math]p\gt1[/math] an der Stelle [math]x_M=\tfrac{p-1}{b}[/math] ihr Maximum und für [math]p\gt2[/math] an den Stellen

[math]x_W=x_M\pm \frac{(p-1)^\frac12}{b}[/math]

Wendepunkte.

Erwartungswert

Der Erwartungswert der Gammaverteilung ist

[math]\operatorname{E}(X)={p \over b}.[/math]

Varianz

Die Varianz der Gammaverteilung ist

[math]\operatorname{Var}(X)={p \over b^2}.[/math]

Schiefe

Die Schiefe der Verteilung ist gegeben durch

[math]\operatorname{v}(X) = \frac{2}{\sqrt{p}}.[/math]

Reproduktivität

Die Gammaverteilung ist reproduktiv: Die Summe aus den stochastisch unabhängigen gammaverteilten Zufallsvariablen [math]X[/math] und [math]Y[/math], die beide gammaverteilt sind mit den Parametern [math]b[/math] und [math]p_x[/math] bzw. [math]p_y[/math], ist wiederum gammaverteilt mit den Parametern [math]b[/math] und [math]p_x + p_y[/math].

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion hat die Form

[math]\phi_{X}(s) = \left(\frac{b}{b-is}\right)^p.[/math]

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion der Gammaverteilung ist

[math]m_{X}(s) = \left(\frac{b}{b-s}\right)^p.[/math]

Entropie

Die Entropie der Gammaverteilung beträgt

[math]H(X) = \ln\left(\Gamma(p)\right) - \ln\left(b\right) + (1-p)\psi(p) + p[/math]

wobei ψ(p) die Digamma-Funktion bezeichnet.

Summe gammaverteilter Zufallsgrößen

Sind [math]X_1\sim \gamma(p_1,b)[/math] und [math]X_2\sim \gamma(p_2,b)[/math] unabhängige gammaverteilte Zufallsgrößen dann ist auch die Summe [math]X_1+X_2[/math] gammaverteilt, und zwar

[math]X_1+X_2\sim\gamma(p_1+p_2,b).[/math]

Allgemein gilt: Sind [math]X_i\sim \gamma(p_i,b)\quad i=1,\ldots,n[/math] stochastisch unabhängig dann ist

[math]X_1+ \dotsb +X_n\sim\gamma(p_1+ \dotsb +p_n,b).[/math]

Somit bildet die Gammaverteilung eine Faltungshalbgruppe in einem ihrer beiden Parameter.

Beziehung zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Betaverteilung

Wenn [math]X \sim \gamma(p_1,b)[/math] und [math]Y \sim \gamma(p_2,b)[/math] unabhängige gammaverteilte Zufallsvariablen sind mit den Parametern [math]p_1, b[/math] bzw. [math]p_2, b[/math], dann ist die Größe [math]\tfrac{X}{X+Y}[/math] betaverteilt mit Parametern [math]p_1[/math] und [math]p_2[/math], kurz

[math]Beta(p_1,p_2) \sim \frac{\gamma(p_1,b)}{\gamma(p_1,b)+\gamma(p_2,b)}.[/math]

Beziehung zur Chi-Quadrat-Verteilung

Beziehung zur Erlang-Verteilung

Die Erlang-Verteilung mit dem Parameter [math]\lambda[/math] und [math]n[/math] Freiheitsgraden entspricht einer Gammaverteilung mit den Parametern [math]p=n[/math] und [math]b=\lambda[/math] und liefert die Wahrscheinlichkeit der Zeit bis zum Eintreffen des [math]p[/math]-ten seltenen, Poisson-verteilten Ereignisses.

Beziehung zur Exponentialverteilung

  • Wählt man in der Gammaverteilung den Parameter [math]p=1[/math], so erhält man die Exponentialverteilung mit Parameter [math]\lambda=b[/math].
  • Die Faltung von n Exponentialverteilungen mit demselben [math]\lambda[/math] ergibt eine Gamma-Verteilung mit [math]p=n, b=\lambda[/math].

Beziehung zur logarithmischen Gammaverteilung

Ist [math]X[/math] Gamma-verteilt, dann ist [math]Y=e^X[/math] Log-Gamma-verteilt.

Literatur

  • Lindgren, Bernard W.: Statistical Theory, New York etc., 1993
  • Fisz, Marek: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik, Berlin 1970
  • P. Heinz Müller (Hrsg.): Wahrscheinlichkeitsrechnung und Mathematische Statistik, Leipzig 1991

Weblinks


Kategorien: Wahrscheinlichkeitsverteilung

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Gammaverteilung (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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