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Fréchet-Metrik


Fréchet-Metrik (nach Maurice René Fréchet) ist ein Begriff aus der Funktionalanalysis. Sie stellt eine Verbindung zwischen Metrik und Norm her.

Definition

Sei [math]V[/math] ein beliebiger reeller oder komplexer Vektorraum. Eine Fréchet-Metrik ist eine Funktion [math] \varrho\colon V \to \mathbb{R} [/math], die für [math] x,y \in V [/math] folgende Bedingungen erfüllt:

  1. [math] \varrho(x)=\varrho (-x)[/math]
  2. [math] \varrho (x)\ge 0[/math], wobei [math]\varrho (x)=0\iff x=0[/math]
  3. [math] \varrho (x+y)\le \varrho(x)+\varrho(y)[/math]

Das heißt, [math]\varrho[/math] ist symmetrisch, nichtnegativ und erfüllt die Dreiecksungleichung.

Beispiele

  • Jede Norm [math]x\mapsto\|x\|[/math] auf [math]V[/math] ist eine Fréchet-Metrik, denn [math]\|\cdot\|[/math] erfüllt offensichtlich die Bedingungen (2) und (3). Die Gültigkeit von (1) folgt aus der Homogenität von Normen. Die Umkehrung gilt jedoch nicht: Beispielsweise ist für [math] V=\mathbb{R}^n[/math] die Fréchet-Metrik
    [math]\varrho(x):=\frac{|x|}{1+|x|}[/math]
    keine Norm, da sie nicht homogen ist.
  • Ist [math](p_k)_{k \in \N}[/math] eine abzählbare Familie von Halbnormen auf dem Vektorraum [math]V[/math] mit der Eigenschaft
    [math] p_k(x) = 0 \,[/math] für alle [math] k \in \N \Longrightarrow x = 0, [/math]
    dann wird durch
    [math] \varrho(x) = \sum_{k\in\mathbb{N}} \frac{1}{2^k}\frac{p_k(x)}{1+p_k(x)} [/math]
    eine Fréchet-Metrik definiert, die dieselbe Topologie erzeugt wie die Familie von Halbnormen.
  • Die [math]L^p[/math]-Räume für [math]0 \lt p \lt 1[/math] ausgestattet mit der Fréchet-Metrik
    [math]\varrho_p(f) := \int_{\Omega} \left\|f(x)\right\|^p \,\mathrm{d}\mu(x) [/math]
    sind Beispiele für im Allgemeinen nicht lokalkonvexe Räume.[1]

Anwendungen

  • Durch eine Fréchet-Metrik kann in einem Vektorraum eine Metrik definiert werden vermöge [math]d(x,y):=\varrho(x-y)[/math]. Dass die so definierte Abbildung eine Metrik ist, folgt direkt aus der Definition der Fréchet-Metrik.
  • Umgekehrt gilt: Jede Metrik [math]d[/math] auf einem Vektorraum, die translationsinvariant ist, d.h. [math]d(x+c,y+c)=d(x,y)[/math], entsteht durch genau eine solche Fréchet-Metrik.
  • Ein (Hausdorffscher) topologischer Vektorraum besitzt genau dann eine Fréchet-Metrik, die seine Topologie erzeugt, wenn er erstabzählbar ist.
  • Wenn ein (reeller oder komplexer) Vektorraum mit Fréchet-Metrik die zusätzlichen Eigenschaften hat, dass er vollständig ist und dass die Topologie dieses Vektorraums lokalkonvex ist, dann handelt es sich um einen Fréchet-Raum.

Literatur

  • H. W. Alt: Lineare Funktionalanalysis. 4. Aufl., Springer, Berlin 2002, ISBN 3-540-43947-1.

Einzelnachweise

  1. H. W. Alt: Lineare Funktionalanalysis. Eine anwendungsorientierte Einführung. 6. Auflage. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-22260-3, Kapitel 2. Teilmengen von Funktionenräumen, U2.11, S. 140.

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Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Fréchet-Metrik (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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