Formelsammlung Logik - LinkFang.de





Formelsammlung Logik


Dies ist eine Formelsammlung zum mathematischen Teilgebiet der Logik.

Aussagenlogik

Logische Werte:

  • wahr (true) 1
  • falsch (false) 0

Erweiterte Logik:

Aussagen können durch logische Operatoren, auch Junktoren genannt, verknüpft werden. Die üblichen Junktoren sind:

Name Symbol sprachliche Umschreibung Operation Definition
Negator ¬ „nicht“ Negation Die Negation eines logischen Werts ist genau dann wahr, wenn der Wert falsch ist.
Konjunktor „und“ Konjunktion Die Konjunktion von zwei Werten ist genau dann wahr, wenn beide Werte wahr sind.
Disjunktor „oder“ Disjunktion Die Disjunktion von zwei Werten ist genau dann wahr, wenn mindestens ein Wert wahr ist.

Um die Symbole des Konjunktors und des Disjunktors leicht auseinanderhalten zu können, gibt es die Eselsbrücke mit den drei O: „Oder ist Oben Offen.“

Verknüpfungen zweier Aussagen

Name sprachliche Umschreibung Darstellung Wahrheitstabelle Logik­gatter
durch Negator, Konjunktor und Disjunktor durch andere Junktoren A=1 A=0
B=1 B=0 B=1 B=0
Konjunktion A und B A ∧ B 1 0 0 0 AND
Exklusion, konträrer Gegensatz nicht zugleich A und B ¬(A ∧ B) = ¬A ∨ ¬B A|B = (A → ¬B) = (B → ¬A) 0 1 1 1 NAND
Disjunktion A oder B (oder beide) A ∨ B (¬A → B) = (¬B → A) 1 1 1 0 OR
Nihilition, Rejektion weder A noch B ¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B 0 0 0 1 NOR
Kontravalenz, kontradiktorischer Gegensatz entweder A oder B (A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ B) = (A ∨ B) ∧ (¬A ∨ ¬B) A ⊻ B = ¬(A ↔ B) 0 1 1 0 XOR
Bikonditional, Bisubjunktion, materiale Äquivalenz nur wenn A dann B, genau dann B wenn A (A ∧ B) ∨ (¬A ∧ ¬B) = (A ∨ ¬B) ∧ (¬A ∨ B) (A ↔ B) = (A → B) ∧ (B → A) 1 0 0 1 XNOR
Konditional, Subjunktion, materiale Implikation Implikation wenn A dann B ¬A ∨ B (A → B) = (¬B → ¬A) 1 0 1 1
Replikation wenn B dann A ¬B ∨ A (B → A) = (¬A → ¬B) 1 1 0 1
Inhibition Postsektion A und nicht B A ∧ ¬B ¬(A → B) 0 1 0 0
Präsektion B und nicht A B ∧ ¬ A ¬(B → A) 0 0 1 0

Logische Grundgesetze

Gesetz der doppelten Negation [math]x = \neg (\neg x)[/math]
Kommutativgesetze [math]x \and y = y \and x[/math] [math]x \or y = y \or x[/math]
Assoziativgesetze [math]x \and ( y \and z )=(x \and y) \and z[/math] [math](x\or y)\or z=x\or(y\or z)[/math]
Distributivgesetze [math]x \and ( y \or z ) = ( x \and y ) \or ( x \and z )[/math] [math]x \or ( y \and z ) = ( x \or y ) \and ( x \or z )[/math]
Idempotenz [math]x \and x = x[/math] [math]x \or x = x[/math]
Gesetze der Negation (Tautologie / Kontradiktion) [math]x \or \neg x = 1[/math] [math]x \and \neg x = 0[/math]
Absorptionsgesetze [math]x \and ( x \or y ) = x[/math] [math]x \or ( x \and y ) = x[/math]
Neutralität [math]x \or 0 = x[/math] [math]x \and 1 = x[/math]
De Morgansche Gesetze [math]\neg ( x \and y ) = \neg x \or \neg y[/math] [math]\neg ( x \or y ) = \neg x \and \neg y[/math]

Schlussregeln

Modus Ponens [math]((a \rightarrow b) \and a) \rightarrow b[/math]
Modus tollens [math]((a \rightarrow b) \and \neg b) \rightarrow \neg a[/math]
Hypothetischer Syllogismus [math] (a \rightarrow b) \and (b \rightarrow c) \rightarrow (a \rightarrow c)[/math]
Disjunktiver Syllogismus [math] ((a \or b) \and \neg a) \rightarrow b[/math]

Prädikatenlogik

Quantoren

p ist Platzhalter für eine prädikatenlogische Aussageform.

[math]\forall _x p=\neg (\exist _x \neg p)[/math] [math]\exist _x p=\neg (\forall _x \neg p)[/math]
[math]\neg \forall _x p= (\exist _x \neg p)[/math] [math]\neg \exist _x p= (\forall _x \neg p)[/math]

Pränexform

[math]\phi[/math] und [math]\psi[/math] sind im Folgenden Platzhalter für prädikatenlogische Aussageformen. Die Umformungen in Zeilen 1, 2, 4 und 5 der Tabelle gelten nur, wenn x innerhalb von [math]\psi[/math] nicht frei vorkommt, d. h. wenn durch das Verschieben des Quantors keine Variablenbindung entsteht (bzw. aufgelöst wird), die zuvor nicht da war (bzw. da war). Die letzte Umformung gilt nur, wenn x innerhalb von [math]\phi[/math] nicht frei vorkommt, d.h. wenn durch das Verschieben des Quantors keine Variablenbindung entsteht (bzw. aufgelöst wird), die zuvor nicht da war (bzw. da war).

Unproblematisch ist das, wenn die Variablen in den Aussageformen [math]\phi[/math] und [math]\psi[/math] jeweils unterschiedlich benannt sind.

[math](\forall x \phi) \land \psi[/math] = [math]\forall x ( \phi \land \psi)[/math], [math](\forall x \phi) \lor \psi[/math] = [math]\forall x ( \phi \lor \psi)[/math];
[math](\exists x \phi) \land \psi[/math] = [math]\exists x (\phi \land \psi)[/math], [math](\exists x \phi) \lor \psi[/math] = [math]\exists x (\phi \lor \psi)[/math].
[math]\lnot \exists x \phi[/math] = [math]\forall x \lnot \phi[/math] [math]\lnot \forall x \phi[/math] = [math]\exists x \lnot \phi[/math].
[math](\forall x \phi ) \rightarrow \psi[/math] = [math]\exists x (\phi \rightarrow \psi)[/math], [math](\exists x \phi ) \rightarrow \psi[/math] = [math]\forall x (\phi \rightarrow \psi)[/math].
[math]\phi \rightarrow (\exists x \psi)[/math] = [math]\exists x (\phi \rightarrow \psi)[/math], [math]\phi \rightarrow (\forall x \psi)[/math] = [math]\forall x (\phi \rightarrow \psi)[/math].

Minimale Schlussregeln

Quasiordnung

[math]\vdash[/math] ist im Folgenden eine Quasiordnung zwischen Aussagen.

[math] \begin{array}{c} {~} \\\hline A \vdash A \end{array} \qquad\begin{array}{c} A\vdash B \qquad B\vdash C \\\hline A \vdash C \end{array} [/math]

Konjunktion

[math]\top[/math] und [math]\land[/math] werden durch folgende Regeln definiert.

[math] \begin{array}{c} {~} \\\hline A \vdash \top \end{array} \qquad\begin{array}{c} A\vdash B \qquad A\vdash C \\\hline A \vdash B \land C \end{array} {\uparrow}{\downarrow} [/math]

Disjunktion

[math]\bot[/math] und [math]\lor[/math] werden durch folgende Regeln definiert.

[math] \begin{array}{c} {~} \\\hline \bot \vdash A \end{array} \qquad\begin{array}{c} A\vdash C \qquad B\vdash C \\\hline A\lor B \vdash C \end{array} {\uparrow}{\downarrow} [/math]

Heyting-Implikation und -Negation

[math]\to[/math] wird durch die Regel

[math] \begin{array}{lcr} A \land B &\vdash& C \\\hline A &\vdash& B \to C \end{array}{\uparrow}{\downarrow} [/math]

definiert, und [math]\lnot[/math] per [math]\lnot A := A \to \bot[/math].

Es gelten

  • [math]A\land \lnot A \vdash \bot[/math],
  • [math]\lnot \top \vdash \bot[/math] und
  • [math]\top \vdash \lnot \bot[/math].

Ko-Heyting-Implikation und -Negation

Dual zu [math]\to[/math] und [math]\lnot[/math] sind [math]\setminus[/math] und [math]\sim[/math].

[math] \begin{array}{lcr} A \setminus B &\vdash& C \\\hline A &\vdash& B \lor C \end{array}{\uparrow}{\downarrow} [/math],

[math]{\sim} A := \top \setminus A[/math].

Es gelten

  • [math]\top\vdash A \lor {\sim} A[/math]
  • [math]{\sim} \top \vdash \bot[/math] und
  • [math]\top \vdash {\sim} \bot[/math].

Beziehung zwischen den Negationen

Es gilt immer [math]\lnot A \vdash {\sim} A[/math]. Gilt auch [math]{\sim}A \vdash \lnot A[/math], erhält man klassische Logik.

Quantoren

Es sei [math]f\colon X \to Y[/math] eine Abbildung. Eine beliebige Aussage [math]A[/math] über Elemente von [math]Y[/math] kann per [math]f[/math] in eine Aussage über [math]X[/math]-Elemente transformiert werden. Notation: [math]A\circ f[/math]. [math](-\circ f)[/math] ist ein Funktor. Seine rechts- und linksadjungierten sind, respektive, All- und Existenzquantor. D.h.

[math]\begin{array}{lcr} A \circ f &\vdash_X& B \\\hline A &\vdash_Y& \forall_f B \end{array}{\uparrow}{\downarrow} \qquad\begin{array}{rcl} C &\vdash_X& A \circ f \\\hline \exists_f C&\vdash_Y& A \end{array}{\uparrow}{\downarrow}[/math].


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