Fisher-Tippett-Verteilung - LinkFang.de





Gumbel-Verteilung

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Die Gumbel-Verteilung (nach Emil Julius Gumbel), die Fisher-Tippett-Verteilung (nach Ronald Aylmer Fisher) oder Extremal–I–Verteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die wie die Rossi-Verteilung und die Fréchet-Verteilung zu den Extremwertverteilungen gehört.

Definition

Eine stetige Zufallsgröße [math]X[/math] genügt einer Gumbel-Verteilung mit Skalierungsparameter [math]\beta\gt0[/math] und Lageparameter [math]\mu\in\mathbb{R}[/math], wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte

[math]f(x)= \frac{1}{\beta}\mathrm{e}^{-\frac{1}{\beta}(x-\mu)} \mathrm{e}^{-\mathrm{e}^{-\frac{1}{\beta}(x-\mu)}},~ x\in\mathbb{R}[/math]

und damit die Verteilungsfunktion

[math]F(x)= \mathrm{e}^{-\mathrm{e}^{-\frac{1}{\beta}(x-\mu)}},~ x\in\mathbb{R}[/math]

besitzt.

Standard-Fall

Werden keine Parameter angegeben, so sind die Standard-Parameter [math]\mu=0[/math] und [math]\beta=1[/math] gemeint. Damit ergibt sich die Dichte

[math]f(x)= \mathrm{e}^{-x} \mathrm{e}^{-\mathrm{e}^{-x}},~ x\in\mathbb{R}[/math]

und die Verteilungsfunktion

[math]F(x)= \mathrm{e}^{-\mathrm{e}^{-x}},~ x\in\mathbb{R}[/math]

Durch die affin-linearen Transformationen [math]X \mapsto Y := \mu + \beta X[/math] erhält man die ganze oben angegebene Klasse von Verteilungen mit den Eigenschaften

[math]F_Y(x) = F\left(\frac{x-a}{b}\right)[/math]
[math]f_Y(x) = \frac{1}{b} f\left(\frac{x-a}{b}\right)[/math]
[math]\operatorname{E}(Y) = b \operatorname{E}(X) + a[/math]
[math]\operatorname{Var}(Y) = b^2 \operatorname{Var}(X)[/math].

Eigenschaften

Erwartungswert

Die Gumbelverteilung besitzt den Erwartungswert

[math] \operatorname{E}(X) = \mu + \beta \gamma[/math].

Dabei ist [math]\gamma \approx 0{,}5772[/math] die Euler-Mascheroni-Konstante.

Varianz

Die Varianz einer Gumbelverteilung ist

[math]\operatorname{Var}(X) = \frac{(\pi\beta)^{2}}{6}[/math].

Standardabweichung

Die Standardabweichung einer Gumbelverteilung ist

[math]\sigma = \frac{\pi\beta}{\sqrt{6}}[/math].

Anwendung

Sie wird u.a. in folgenden Bereichen benutzt:

Die Gumbel-Verteilung ist eine typische Verteilungsfunktion für jährliche Serien. Sie kann nur auf Reihen angewendet werden, bei denen die Länge der Messreihe mit dem Stichprobenumfang übereinstimmt. Ansonsten erhält man negative Logarithmen.

Beziehung zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Extremwertverteilung

Die Gumbel-Verteilung ergibt sich aus der Extremwertverteilung mit den Parametern [math]a=\mu[/math], [math]b=\beta[/math] und [math]c=1[/math].

Weblinks


Kategorien: Wahrscheinlichkeitsverteilung

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Gumbel-Verteilung (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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