Feuerbachkreis - LinkFang.de





Feuerbachkreis


Der Feuerbachkreis oder Neun-Punkte-Kreis ist ein besonderer Kreis im Dreieck, der nach Karl Wilhelm Feuerbach benannt ist. Auf ihm liegen neun ausgezeichnete Punkte:

  • die Mittelpunkte der Seiten;
  • die Fußpunkte der Höhen;
  • die Mittelpunkte der oberen Höhenabschnitte (das sind die Mittelpunkte der Strecken zwischen jeweils einer Dreiecksecke und dem Höhenschnittpunkt des Dreiecks).

Im Bild rechts sind D, E und F die Seitenmittelpunkte, G, H und I die Höhenfußpunkte, J, K und L die Mittelpunkte der oberen Höhenabschnitte und S der Höhenschnittpunkt.

Sonderfälle

  • Der Feuerbachkreis geht genau dann durch eine Ecke des Dreiecks (nämlich den Scheitel des rechten Winkels), wenn das Dreieck rechtwinklig ist.
  • Der Feuerbachkreis berührt genau dann eine Dreiecksseite (nämlich die Basis), wenn das Dreieck gleichschenklig ist.
  • Der Feuerbachkreis stimmt genau dann mit dem Inkreis überein, wenn das Dreieck gleichseitig ist.

Eigenschaften

  • Der Feuerbachkreis berührt den Inkreis des Dreiecks einschließend und die drei Ankreise des Dreiecks ausschließend, diese Eigenschaft wird auch als der Satz von Feuerbach bezeichnet. Der Punkt, in dem sich Feuerbachkreis und Inkreis berühren, wird Feuerbachpunkt des Dreiecks genannt. (Vorsicht: Manche, meist deutsche, Autoren bezeichnen den Mittelpunkt des Feuerbachkreises als "Feuerbachpunkt" und dementsprechend die Existenz des Feuerbachkreises mit den in der Einleitung beschriebenen Eigenschaften als Satz von Feuerbach, siehe dazu z. B. Schupp)
  • Der Mittelpunkt des Feuerbachkreises liegt genau in der Mitte zwischen Höhenschnittpunkt und Umkreis­mittelpunkt, also auch auf der Eulerschen Gerade.
  • Der Radius des Feuerbachkreises ist halb so groß wie der Umkreisradius des Dreieckes.

  • Der Feuerbachkreis halbiert die Strecke zwischen dem Höhenschnittpunkt und einem beliebigen Punkt auf dem Umkreis.

Koordinaten

Mittelpunkt des Feuerbachkreises ([math]X_5[/math])
Trilineare Koordinaten [math]\cos(\beta-\gamma) \,: \, \cos(\gamma-\alpha) \,: \, \cos(\alpha-\beta)[/math]
Baryzentrische Koordinaten [math]a \cos(\beta-\gamma) \,: \, b \cos(\gamma-\alpha) \,: \, c \cos(\alpha-\beta)[/math]

Feuerbachpunkt ([math]{X_1}_1[/math])
Trilineare Koordinaten [math]1-\cos(\beta-\gamma) \,: \, 1-\cos(\gamma-\alpha) \,: \, 1-\cos(\alpha-\beta)[/math]

Geschichte

Historisch gesehen ist anzumerken, dass der Feuerbachkreis ein Jahr vor der Veröffentlichung der diesbezüglichen Schrift Feuerbachs, also 1821, von Charles Julien Brianchon und Jean Victor Poncelet entdeckt wurde. In Deutschland hat sich aber der Name Feuerbachkreis eingebürgert. Grund dafür ist der von Feuerbach stammende, relativ schwierige Beweis, dass dieser Kreis den Inkreis und die Ankreise berührt. In der übrigen Welt sagt man meistens Neunpunktekreis. Es ist auch die historisch gesehen gerechtere Bezeichnung Eulerkreis verbreitet.

Siehe auch

Literatur

Weblinks

 Commons: Nine-point circle  – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien


Kategorien: Dreiecksgeometrie

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Feuerbachkreis (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

Änderungen: Alle Bilder mit den meisten Bildunterschriften wurden entfernt. Ebenso alle zu nicht-existierenden Artikeln/Kategorien gehenden internen Wikipedia-Links (Bsp. Portal-Links, Redlinks, Bearbeiten-Links). Entfernung von Navigationsframes, Geo & Normdaten, Mediadateien, gesprochene Versionen, z.T. ID&Class-Namen, Style von Div-Containern, Metadaten, Vorlagen, wie lesenwerte Artikel. Ansonsten sind keine Inhaltsänderungen vorgenommen worden. Weiterhin kann es durch die maschinelle Bearbeitung des Inhalts zu Fehlern gerade in der Darstellung kommen. Darum würden wir jeden Besucher unserer Seite darum bitten uns diese Fehler über den Support mittels einer Nachricht mit Link zu melden. Vielen Dank!

Stand der Informationen: August 201& - Wichtiger Hinweis: Da die Inhalte maschinell von Wikipedia übernommen wurden, ist eine manuelle Überprüfung nicht möglich. Somit garantiert LinkFang.de nicht die Richtigkeit und Aktualität der übernommenen Inhalte. Sollten die Informationen mittlerweile fehlerhaft sein, bitten wir Sie darum uns per Support oder E-Mail zu kontaktieren. Wir werden uns dann innerhalb von spätestens 10 Tagen um Ihr Anliegen kümmern. Auch ohne Anliegen erfolgt mindestens alle drei Monate ein Update der gesamten Inhalte.