Fermi-Dirac-Integral - LinkFang.de





Fermi-Dirac-Integral


In der statistischen Physik wird das Fermi-Dirac-Integral (nach Enrico Fermi und Paul Dirac), mit Index definiert als

[math]F_j(x) = \frac{1}{\Gamma(j+1)} \int_0^\infty \frac{t^j}{\exp(t-x) + 1}\,dt[/math]

wobei [math]\Gamma(x)[/math] die Gammafunktion ist. Wird die untere Grenze des Integrals als Argument der Funktion angegeben

[math]F_j(x, b) = \frac{1}{\Gamma(j+1)} \int_b^\infty \frac{t^j}{\exp(t-x) + 1}\,dt[/math]

dann spricht man vom unvollständigen Fermi-Dirac-Integral.

Anwendung für F1/2

Die Funktion tritt unter anderem auf in der Festkörperphysik im Zusammenhang mit der Aufenthaltsverteilung von Elektronen im Kristallgitter. Dort muss oft das Integral [math]F_{1/2}(x)[/math] berechnet werden (siehe: Zustandsdichte). Substituiere beim zweiten Gleichheitszeichen [math]t:=\tfrac{E-E_{c}}{kT}[/math] sowie [math]x:=\tfrac{\mu-E_{c}}{kT}[/math], sodass [math]\mathrm{d}E=kT\,\mathrm{d}t[/math]:

[math]n=N\int_{E_{c}}^{\infty}\frac{\sqrt{E-E_{c}}}{\exp\left(\frac{E-\mu}{kT}\right)+1}\,\mathrm{d}E=N\left(kT\right)^{\frac{3}{2}}\frac{\sqrt{\pi}}{2}\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{\infty}\frac{\sqrt{t}}{\exp\left(t-x\right)+1}\,\mathrm{d}t=N\left(kT\right)^{\frac{3}{2}}\frac{\sqrt{\pi}}{2}F_{1/2}(x)[/math]

Näherung für F1/2

Das Integral [math]F_{1/2}(x)[/math] lässt sich für verschiedene Wertebereiche von x näherungsweise lösen:

[math]\tilde{F}_{1/2}(x)=\begin{cases} \frac{1}{e^{-x}+0.27} & \text{wenn }\ -\infty\ltx\lt1.3\\ \frac{4}{3\sqrt{\pi}}\left(x^{2}+\frac{\pi^{2}}{6}\right)^{3/4} & \text{wenn }\ \,1.3\leq x\lt\infty\end{cases}[/math]

Der relative Fehler dieser Näherungslösung [math]\left(\tilde{F}_{1/2}(x)-F_{1/2}(x)\right)/F_{1/2}(x)[/math] beträgt maximal 3 % (maximale Abweichung bei [math]x=0[/math] und bei [math]x=1.3[/math]). Für große Entfernung vom Ursprung lässt sich [math]F_{1/2}(x)[/math] durch zwei Funktionen annähern:

[math]F_{1/2}(x)\approx e^{x}[/math]   für   [math]-x\gg 1[/math]
[math]F_{1/2}(x)\approx \frac{4}{3\sqrt{\pi}}x^{3/2}[/math]   für   [math]x\gg 1[/math]

Darstellung mit Polylogarithmen

Mittels des Polylogarithmus kann das Fermi-Dirac-Integral dargestellt werden als

[math]\mathrm{F}_j(x)=-\mathrm{Li}_{j+1}(-e^x)[/math].

Wegen

[math]\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \mathrm{Li}_n(x)=\frac1x \mathrm{Li}_{n-1}(x)[/math]

folgt daraus

[math]\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \mathrm{F}_j(x)=\mathrm{F}_{j-1}(x)[/math].

Weblinks

Literatur

  • J. S. Blakemore: Approximations for Fermi-Dirac Integrals. Solid-State Electronics, 25(11):1067-1076, 1982.

Kategorien: Enrico Fermi | Mathematische Funktion

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Fermi-Dirac-Integral (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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