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Faktorring


In der Algebra bezeichnet man eine bestimmte Art von Ringen als Faktorring oder Quotientenring oder Restklassenring. Es handelt sich dabei um eine Verallgemeinerung der Restklassenringe ganzer Zahlen.

Definition

Ist [math](R,+,\cdot)[/math] ein Ring und [math]I[/math] ein (beidseitiges) Ideal von [math]R[/math], dann bildet die Menge [math]R/I = \left\{a+I\mid a\in R\right\}[/math] der Äquivalenzklassen modulo [math]I[/math] mit folgenden Verknüpfungen einen Ring:

  • [math](a+I) + (b+I) = (a+b)+I[/math]
  • [math](a+I) \cdot (b+I) = a \cdot b + I[/math]

Diesen Ring nennt man den Faktorring [math]R[/math] modulo [math]I[/math] oder Restklassenring oder Quotientenring. (Er hat jedoch nichts mit den Begriffen Quotientenkörper bzw. Totalquotientenring zu tun; diese sind Lokalisierungen.)

Beispiele

  • Die Menge [math]n\Z[/math] aller ganzzahligen Vielfachen von [math]n[/math] ist ein Ideal in [math]\Z[/math], und der Faktorring [math]\Z/n\Z[/math] ist der Restklassenring modulo [math]n[/math].
  • Ist [math]f\in R[X][/math] ein Polynom über einem Integritätsring [math]R[/math], dann ist die Menge [math]R[X]\cdot f = (f)[/math] aller Polynom-Vielfachen von [math]f[/math] ein Ideal im Polynomring [math]R[X][/math], und [math]R[X]/(f) = \left\{g + (f)\mid g \in R[X]\right\}[/math] ist der Faktorring [math]R[X][/math] modulo [math]f[/math].
  • Betrachten wir das Polynom [math]f = X^2+1[/math] über dem Körper [math]\R[/math] der reellen Zahlen, so ist der Faktorring [math]\R[X]/(f)[/math] isomorph zum Körper der komplexen Zahlen; die Äquivalenzklasse von [math]X[/math] entspricht dabei der imaginären Einheit [math]\mathrm{i}[/math].
Rechenbeispiele:
Das Polynom [math]X^2[/math] liegt wegen [math]X^2 = f-1[/math] in derselben Äquivalenzklasse modulo [math]f[/math] wie [math]-1[/math].
Für das Produkt [math][X+1]\cdot [X+2][/math] ermitteln wir [math][X+1]\cdot[X+2] = [(X+1)\cdot(X+2)] = [X^2+3X+2] = [3X+1][/math]

Eigenschaften

  • Ist [math]R[/math] ein kommutativer Ring mit Einselement, so ist ein Ideal [math]I[/math] genau dann ein Primideal, wenn [math]R/I[/math] ein Integritätsring ist.
  • Ist [math]R[/math] ein kommutativer Ring mit Einselement, so ist ein Ideal [math]I[/math] genau dann ein maximales Ideal, wenn [math]R/I[/math] ein Körper ist.
  • Ist [math]K[/math] ein Körper und [math]f[/math] ein irreduzibles Polynom über [math]K[/math], dann ist [math](f)[/math] ein maximales Ideal in [math]K[X][/math] und deshalb ist [math]L \colon= K[X]/(f)[/math] ein Körper. Dieser Körper ist ein Oberkörper von [math]K[/math], in dem [math]f[/math] eine Nullstelle hat (die Restklasse von [math]X[/math]). Die Körpererweiterung [math]L/K[/math] ist endlich und algebraisch, ihr Grad stimmt mit dem Grad von [math]f[/math] überein. Wiederholt man das Verfahren mit den über [math]L[/math] nicht-linearen irreduziblen Teilern von [math]f[/math], so erhält man schließlich einen Körper, in dem [math]f[/math] in Linearfaktoren zerfällt: Den Zerfällungskörper von [math]f[/math].

Idealtheorie

Sei [math] R [/math] ein kommutativer Ring mit Einselement und [math] I\subseteq R [/math] ein Ideal. Dann sind

  • die Ideale des Rings [math] R/I [/math] genau die Ideale [math] J [/math] von [math] R [/math], die [math] I [/math] enthalten (also [math] I\subseteq J [/math] )
  • die Primideale des Rings [math] R/I [/math] genau die Primideale von [math] R [/math], die [math] I [/math] enthalten
  • die Maximalideale des Rings [math] R/I [/math] genau die Maximalideale von [math] R [/math], die [math] I [/math] enthalten

Bemerkung

Der Begriff ist zu unterscheiden vom faktoriellen Ring, in dem die eindeutige Primfaktorzerlegung existiert.

Literatur

  • Kurt Meyberg, Algebra I, Carl Hanser Verlag (1980), ISBN 3-446-13079-9, Kapitel 3: "Ringe"

Kategorien: Ring (Algebra)

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