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Fünfeck


Ein Fünfeck, auch Pentagon (von altgriechisch πεντάγωνον pentágōnon „Fünfeck“), ist eine geometrische Figur. Es gehört zur Gruppe der Vielecke (Polygone) und ist durch fünf Punkte definiert.

Einteilung

Fünfecke können, wie alle Polygone, welche keine Dreiecke sind, unterteilt werden in:

  • überschlagenes Fünfeck: Mindestens zwei Seiten schneiden einander.
  • konkaves Fünfeck: mindestens ein Innenwinkel ist größer als 180°. Ein Fünfeck kann maximal zwei derartige Winkel haben.
  • konvexes Fünfeck: alle Innenwinkel sind kleiner als 180°
  • Sehnenfünfeck: alle Ecken liegen auf einem gemeinsamen Umkreis.
  • regelmäßiges Fünfeck: Alle Seiten sind gleich lang und alle Innenwinkel gleich groß. Regelmäßige Fünfecke können konvex oder überschlagen sein.

Allgemeines Fünfeck

Winkel

Die Summe der Innenwinkel eines regelmäßigen Fünfecks beträgt 540°, also 3 mal 180°, und ergibt sich aus einer allgemeinen Formel für Polygone, in der für die Variable [math]n[/math] die Anzahl der Eckpunkte des Polygons eingesetzt werden muss (in diesem Fall [math]n = 5[/math]):

[math] \sum {\alpha =}(n - 2) \cdot 180^\circ = 3 \cdot 180^\circ = 540^\circ[/math]

Fläche

Ein ebenes Fünfeck besitzt einen eindeutig bestimmbaren Flächeninhalt, welcher sich stets durch Zerlegen in Dreiecke berechnen lässt.

Regelmäßiges Fünfeck

Größen eines regelmäßigen Fünfecks mit Seitenlänge a
Umkreisradius [math] r_u \, = \, \frac{a}{10} \sqrt{50 + 10\sqrt{5}}\;\approx a \cdot 0{,}8506[/math]
Inkreisradius [math] r_i \, = \frac{a}{10} \sqrt{25 + 10\sqrt{5}}\;\approx a \cdot 0{,}6881[/math]
Flächeninhalt [math] A \, = \, \frac{a^2}{4} \sqrt{25 + 10\sqrt{5}}\;\approx a^2 \cdot 1{,}7204[/math]
Diagonale [math] d \, = \, \frac{a}{2} (1 + \sqrt{5})\;\approx a \cdot 1{,}6180[/math]
Höhe [math] h \, = r_u + r_i = \frac{a}{2} \sqrt{5 + 2\sqrt{5}}\;\approx a \cdot 1{,}5388[/math]
Innenwinkel [math]\alpha = 108^\circ[/math]

[math] \cos \, \alpha = \frac{1}{4}\left(1-\sqrt{5}\right) [/math]

Innenwinkel

Der Winkel, den zwei benachbarte Seiten im ebenen, regelmäßigen Fünfeck miteinander einschließen, beträgt (wiederum nach einer allgemeinen Formel für regelmäßige Polygone):

[math] \alpha =\frac{(n - 2)}{n} \cdot 180^\circ = \frac{3}{5} \cdot 180^\circ = 108^\circ[/math]

Fläche

Die Fläche A eines regelmäßigen Fünfecks der Seitenlänge [math]a[/math] ist das Fünffache der Fläche eines von seinem Mittelpunkt und zwei seiner Eckpunkte aufgespannten Dreiecks.

[math]A=5 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot \tan 54^\circ \cdot \frac{a}{2} = \frac{5}{4} \cdot a^2 \cdot \tan 54^\circ \approx a^2\cdot 1{,}7204.[/math]

Allgemein mit dem Umkreisradius ru

[math]A=\frac{5}{8}\cdot r_u^2 \cdot \sqrt{10+2\sqrt 5}[/math]

oder auch

[math]A=\frac{5}{2}\cdot r_u^2 \cdot \sin{72^\circ} \approx r_u^2 \cdot 2{,}3776.[/math]

Seitenlänge

[math]a=2 \cdot r_u \cdot \cos 54^\circ[/math]

oder auch:

[math]a=r_u \cdot \sqrt{\frac{5 - \sqrt 5}{2}} \approx r_u \cdot 1{,}1755[/math]

zur Umrechnung siehe den Abschnitt über die als Quadratwurzeln angebbaren Sinus- und Cosinus-Werte.

Der Goldene Schnitt im Fünfeck

Regelmäßiges Fünfeck und Pentagramm bilden eine Grundfigur, in der das Verhältnis des Goldenen Schnittes wiederholt auftritt. Die Seite des Fünfecks befindet sich im goldenen Verhältnis zu seinen Diagonalen. Die Diagonalen untereinander teilen sich wiederum im goldenen Verhältnis, d. h. AD verhält sich zu BD wie BD zu CD. Der Beweis nutzt die Ähnlichkeit gewählter Dreiecke.

Konstruktion mit Zirkel und Lineal bei gegebenem Umkreis

Für das regelmäßige Fünfeck existiert eine mathematisch exakte Konstruktion zur Bestimmung der Seitenlänge. Im Folgenden die Erläuterungen zur nebenstehenden Abbildung (Bild anklicken zeigt Vergrößerung; die Farben dienen zur besseren Veranschaulichung):

  1. Zeichne einen Kreis (späterer Umkreis, blau) mit Radius r um den Mittelpunkt M.
  2. Zeichne zwei zueinander senkrechte Durchmesser (rot) ein.
  3. Halbiere einen Radius (magenta, Punkt D).
  4. Zeichne einen Kreis (grün) mit dem Radius DE um Punkt D. Er schneidet die Gerade AM im Punkt F. Die Strecke EF ist die Länge der Seite.
  5. Zum Abtragen auf dem Umkreis einen weiteren Kreisbogen (orange) mit Radius EF um E zeichnen. Er schneidet den ersten Kreis (blau) in G. Vorgang entsprechend wiederholen.

Berechnung zur Konstruktion:

[math]\overline{EM}= r \cdot 1[/math]
[math]\overline{DM}= r \cdot \frac{1}{2}[/math]
[math]\overline{DE}= r \cdot \sqrt{1+ \left(\frac{1}{2}\right)^2} = r \cdot \frac{ \sqrt{5}}{2} [/math]
[math]\overline{MF}= r \cdot \left( \frac{ \sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} \right) = r \cdot \frac{ \sqrt{5} - 1}{2}[/math]
[math]\overline{EF}= r \cdot \sqrt{1 + \left( \frac{ \sqrt{5} - 1}{2} \right) ^2} [/math]
Umformen des Faktors:
[math]\frac{\overline{EF}}{r} = \sqrt{1+ \frac{ 5- 2 \cdot \sqrt{5} + 1 }{4}} = \sqrt{ \frac{4}{4} + \frac{5-2 \cdot \sqrt{5} + 1 }{4}} [/math]
[math]\frac{\overline{EF}}{r} = \sqrt{\frac{4+5- 2 \cdot \sqrt{5} +1}{4}} = \sqrt{\frac{10- 2 \cdot \sqrt{5}}{4}}[/math]
[math]\frac{\overline{EF}}{r} = \sqrt{ \frac{5 - \sqrt{5}}{2}}[/math]

Das entspricht genau dem Faktor in der obigen Formel für die Seitenlänge.

Die Seitenkanten des Dreiecks MEF entsprechen exakt den Seitenlängen des regelmäßigen Sechsecks (ME), des regelmäßigen Fünfecks (EF) und des regelmäßigen Zehnecks (FM) mit dem gegebenen Umkreisradius r.

Mathematisch ausgedrückt:

  1. Einen Kreis mit beliebigem Radius r mit dem Mittelpunkt M zeichnen und auf dem Durchmesser die Mittelsenkrechte konstruieren.
  2. Die Schnittpunkte des Durchmessers mit dem Kreis werden mit A und X bezeichnet, die der Mittelsenkrechten mit E und Y. (X und Y fehlen in der Darstellung)
  3. Zirkel in A einsetzen und AM=r auf dem Kreis abtragen. Die Schnittpunkte werden mit B und C bezeichnet. (magenta Kreis)
  4. BC schneidet AM in D.
  5. Zirkel in D einsetzen und DE auf AX abtragen, womit wir F erhalten.

ME ist die Seitenlänge des regelmäßigen Sechsecks, EF die des regelmäßigen Fünfecks und FM die des regelmäßigen Zehnecks mit dem gegebenen Umkreisradius r.

Konstruktion mit Zirkel und Lineal bei gegebener Seitenlänge

Mit Anwendung des goldenen Schnitts, äußere Teilung

  1. Zeichne eine Strecke AB deren Länge die vorgegebene Seite des Fünfecks ist.
  2. Verlängere die Strecke ab dem Punkt A um ca. drei Viertel der Strecke AB
  3. Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt B mit dem Radius AB.
  4. Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt A mit dem Radius AB, es ergibt sich der Schnittpunkt F.
  5. Errichte eine Senkrechte zur Strecke AB durch den Punkt F, es ergibt sich der Punkt G
  6. Zeichne eine Parallele zur Strecke FG ab dem Punkt A bis über den Kreisbogen um Punkt A, es ergibt sich der Schnittpunkt H.
  7. Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt G mit dem Radius GH bis zur Verlängerung der Strecke AB, es ergibt sich der Schnittpunkt J.
  8. Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt B mit dem Radius BJ bis über die Senkrechte die durch den Punkt F geht, es ergeben sich die Schnittpunkte D auf der Senkrechten und E mit dem Kreisbogen um Punkt A.
  9. Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt D mit dem Radius BA bis er den Kreisbogen um Punkt B schneidet, es ergibt sich der Schnittpunkt C.
  10. Verbinde die Punkte B-C-D-E-A, somit ergibt sich das regelmäßige Fünfeck.

Schlussfolgerung

Wie in der Konstruktion bei gegebenem Umkreis, ist auch hier der Goldene Schnitt der maßgebende Baustein.

Für den Vergleich der Konstruktionsvarianten sind die Punktebezeichnungen mit Indizes ergänzt: u für die Konstruktion mit gegebenem Umkreis, s für die Konstruktion mit gegebener Seite.

  1. Seite des Fünfecks:
[math]\overline{E_uF_u} \; \widehat{=} \;\overline{A_sB_s}[/math]
  1. Radius für den Goldenen Schnitt:
[math] \overline{D_uE_u} \; \widehat{=} \;\overline{G_sH_s}[/math]
  1. Streckenverhältnisse des Goldenen Schnitts:
[math] \Phi = \frac{\overline{A_uF_u}}{\overline{A_uM_u}} = \frac{\overline{A_uM_u}}{\overline{M_uF_u}} \;\;\; = \;\;\; \frac{\overline{B_sJ_s}}{\overline{A_sB_s}} = \frac{\overline{A_sB_s}}{\overline{A_sJ_s}} \;\;\; = \;\;\; \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618 [/math]

Papierfaltung

Durch Zusammenziehen eines aus einem Papierstreifen geschlungenen Überhandknotens nimmt dieser die Form eines regulären Fünfecks an.

Vorkommen

Natur

Die Okra-Frucht hat im Querschnitt die Form eines Fünfecks. Die Blüten der Prunkwinde sind ebenfalls fünfeckig ausgebildet. Viele cyclische Verbindungen enthalten eine Fünfringstruktur (etwa Cyclopentan, γ-Butyrolacton, Furan, Furanosen etc.).

Architektur und Festungsbau

Der Grundriss einer neuzeitlichen bastionierten Festung hat häufig die Form eines Fünfecks. Anschauliche Beispiele für regelmäßige Fünfecke sind oder waren unter anderem die vollständig wieder aufgebaute Festung Bourtange in den Niederlanden sowie Nyenschantz (heute in St. Petersburg), die Zitadelle von Jaca, die Zitadelle von Pamplona, die Festung Dömitz, die Zitadelle von Turin, die Zitadelle von ’s-Hertogenbosch, die Zitadelle von Straßburg, die Zitadelle von Amiens, die 1598 abgebrochene Zitadelle von Vitry-le-François von Girolamo Marini, die verschwundene Zitadelle von Antwerpen, die Zitadelle von Doullens (Picardie, nur in Teilen auf regelmäßigem Grundriss), die Zitadelle von Lille, das Harburger Schloss, die Zitadelle Vechta, die Zitadelle von Münster, Nieuw-Amsterdam (Suriname), das Kastell von Kopenhagen, Tilbury Fort in Essex östlich von London und die Höhenfestung Wülzburg bei Weißenburg in Bayern. Den Typ des befestigten Palasts (Palazzo in fortezza) auf regelmäßig fünfeckigem Grundriss verkörpern die Villa Farnese, die Schlösser Krzyżtopór und Nowy Wiśnicz sowie die Befestigungen von Schloss Łańcut in Polen. Eine fünfeckige Festung besaß auch die Stadt Sathmar im heutigen Rumänien.

Auch der Hauptsitz des Verteidigungsministeriums der Vereinigten Staaten in Washington, D.C. nutzt das regelmäßige Fünfeck als Grundriss und wird wegen dieser Form Pentagon genannt. Es spielt damit jedoch nicht auf den alten Grundsatz der Konstruktion von Festungen an, sondern erhielt seine Form, weil es ursprünglich an einer anderen Stelle errichtet werden sollte, an der die Grenzen des Grundstücks diese Form vorgaben.

Ein Fünfeck liegt auch der Anlage der Wallfahrtskirche Zelená Hora (Tschechische Republik) und der Kirche St. Michael in Detmold (Westfalen) zugrunde.

Siehe auch: Fünfeckturm

Weblinks

 Commons: Fünfeck  – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
 Wiktionary: Fünfeck – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
 Wikibooks: Fünfeck – Lern- und Lehrmaterialien

Einzelnachweise


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